数学 - 代数学 - 群 - 部分群と生成系(平面上の正n角形のシンメトリー(それ自身に重ねる運動、回転と鏡映)全部のなす群とその元)

代数系入門
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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題9.を取り組んでみる。

9. 
   
   $\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->},\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}$

   をそれぞれ正 n 角形のまわりの角

   $\frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{n}$

   の回転、 正 n 角形の1つの対称軸に関する鏡映とすれば、

   ${\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^n=e,{\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}}^2=e$

   であり、 2つの生成元をもつ群の元は、

   $e,{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^1,...,{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^{n-1}$

   とその鏡映

   $\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->},{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^1\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->},\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^{n-1}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}$

   であり、 位数2 n の群である。