数学 - Python - 線型代数 - 行列の標準化 - ハミルトン-ケーリーの定理(Hamilton-Cayley)(固有多項式(特性多項式)、零変換、2次の正方行列の計算)

線型代数入門
楽天ブックス(Kobo)

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(行列の標準化)、3(ハミルトン-ケーリーの定理(Hamilton-Cayley))、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}{A}^2=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)\\ -\left(a+d\right)A=\left(\begin{array}{cc}-a^2-ad& -ab-bd\\ -ac-cd& -ad-d^2\end{array}\right)\\ \left(ad-bc\right)A=\left(\begin{array}{cc}ad-bc& 0\\ 0& ad-bc\end{array}\right)\end{array}$

   よって、

   $A^2-\left(a+b\right)A-\left(ad-bc\right)A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('1.')

a, b, c, d, x = symbols('a, b, c, d, x')
A = Matrix([[a, b],
            [c, d]])
I = Matrix([[1, 0],
            [0, 1]])
f = A ** 2 - (a + d) * A + (a * d - b * c) * I

pprint(f.expand())

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦
$