数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 積分 - いくつかの計算練習 - ウォリスの公式(定理の証明1(三角関数(正弦)のべきの積分についての逐次公式、帰納法)

解析入門 原書第3版
原著
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo))
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo))
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo))

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第12章(いくつかの計算練習)、3(ウォリスの公式)の定理3の証明1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^{2n}x\mathrm{dx}\\ ={\left[-\frac{1}{2n}\cos x{\sin }^{\left(2n-1\right)}x\right]}_0^{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}+\frac{2n-1}{2n}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^{\left(2n-2\right)}x\mathrm{dx}\\ =\frac{2n-1}{2n}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^{2\left(n-1\right)}x\mathrm{dx}\\ =\frac{2n-1}{2n}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2\left(n-1\right)-1}{2\left(n-1\right)+1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2\left(n-1\right)-3}{2\left(n-1\right)-2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}\\ =\frac{2n-1}{2n}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2n-3}{2n-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}\end{array}$

   よって、 正弦関数のべきの積分についての逐次公式と帰納法により、

   $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^{2n}x\mathrm{dx}=\frac{2n-1}{2n}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2n-3}{2n-2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}$

   が成り立つ。

   $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^{2n+1}x\mathrm{dx}\\ ={\left[\frac{1}{2n+1}\cos x{\sin }^{2n}x\right]}_0^{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}+\frac{2n+1-1}{2n+1}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^{2n-1}x\mathrm{dx}\\ =\frac{2n}{2n+1}\underset{0}{\overset{\frac{n}{2}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^{2\left(n-1\right)+1}x\mathrm{dx}\\ =\frac{2n}{2n+1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2\left(n-1\right)}{2\left(n-1\right)+1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2\left(n-1\right)-2}{2\left(n-1\right)-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2}{3}\\ =\frac{2n}{2n+1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2n-2}{2n-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2}{3}\end{array}$

   よって、 正弦関数のべきの積分についての逐次公式と帰納法により、

   $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^{2n+1}x\mathrm{dx}=\frac{2n}{2n+1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2n-2}{2n-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2}{3}$

   が成り立つ。

   （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, pi, Integral, product, plot, Rational

print('1.')

x = symbols('x')
k, n = symbols('k, n', integer=True)
f = sin(x) ** (2 * n)
g = sin(x) ** (2 * n + 1)
If = Integral(f, (x, 0, pi / 2))
Ig = Integral(g, (x, 0, pi / 2))
sf = pi / 2 * product((2 * k - 1) / (2 * k), (k, 1, n))
gf = product(2 * k / (2 * k + 1), (k, 1, n))
for m in range(10):
    d = {n: m}
    for t in [If.subs(d).doit() == sf.subs(d),
              Ig.subs(d).doit() == gf.subs(d)]:
        print(t, end=' ')
    print()

p = plot(*[f.subs({n: m}) for m in range(1, 6)], show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'brown']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color

p.save('sample1.svg')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
True True 
True True 
True True 
True True 
True True 
True True 
True True 
True True 
True True 
True True 
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.01">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-5">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="5">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-5">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="5">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample1.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_n0 = document.querySelector('#n0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n';

let colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'brown'],
    fns = colors.map((color, i) => [
        (x) => Math.sin(x) ** (2 * (i + 1) + 1),
        color
    ]);

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    
    
    let points = [],
        lines = [[0, y1, 0, y2, 'purple'],
                 [Math.PI / 2, y1, Math.PI / 2, y2, 'purple']];
    
    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =