数学 - Python - 代数学 - 群 - 部分群と生成系(全単射、置換、対称群、逆写像、写像の合成)

代数系入門
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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   x、 y を任意の実数とする。

   $\begin{array}{}ax+b=ay+b\\ ax=ay\\ x=y\end{array}$

   よって単射である。

   また、

   $\begin{array}{}az+b=y\\ z=\frac{y-b}{a}\\ a·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{y-b}{a}+b=y\end{array}$

   よって、 全射である。

   ゆえに全単射、置換である。

   $a=1,b=0$

   とおけば、

   $\begin{array}{}\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\left(x\right)=x\end{array}$

   となるので G は対称群の単位元を含む。

   任意の

   $\begin{array}{}{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}_1\left(x\right)=a_{1}x+b_1\\ {\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}_2\left(x\right)=a_{2}x+b_2\\ {\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}_1,{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}_2\in \; <!--\; element\; of\; -->G\end{array}$

   に対して、

   $\begin{array}{}\left({\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}_1\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}_2\right)\left(x\right)\\ ={\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}_1\left(a_{2}x+b_2\right)\\ =a_1\left(a_{2}x+b_2\right)+b_1\\ =a_1{a}_{2}x+a_1{b}_2+b_1\\ a_1{a}_2\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\end{array}$

   よって、 写像の合成について閉じている。

   ${\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}_1\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}_2\in \; <!--\; element\; of\; -->G$

   また、

   $\begin{array}{}{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}_1^{-1}\left(x\right)=\frac{x-b_1}{a_1}=\frac{1}{a_1}x-\frac{b_1}{a_1}\\ \frac{1}{a_1}\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ {\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}_1^{-1}\left(x\right)\in \; <!--\; element\; of\; -->G\end{array}$

   よって逆写像の G の元である。

   以上より、 問題の形の R の置換の全体G は対称群 S (G)の部分群をなす。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols

print('4.')


a = symbols('a', nonzero=True, real=True)
b, x, y = symbols('b, x, y', real=True)

f = a * x + b
g = 1 / a * x - b / a

for t in [f, g, g.subs({x:f.subs({x:y})}).simplify()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
a⋅x + b

  b   x
- ─ + ─
  a   a

y

$