数学 - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – スカラー積(4つの性質、和と差の二乗、等式の証明)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、3(スカラー積)、練習問題3.を取り組んでみる。

3. 
   
   $\begin{array}{}{\left(A+B\right)}^2\\ =\left(A+B\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(A+B\right)\\ =\left(A+B\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->A+\left(A+B\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->B\\ =A^2+B·\; <!--\; middle\; dot\; -->A+A·\; <!--\; middle\; dot\; -->B+B^2\\ =A^2+A·\; <!--\; middle\; dot\; -->B+A·\; <!--\; middle\; dot\; -->B+B^2\\ =A^2+2AB+B^2\end{array}$

   差 について。

   $\begin{array}{}{\left(A-B\right)}^2\\ =\left(A-B\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(A-B\right)\\ =\left(A+\left(-B\right)\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(A+\left(-B\right)\right)\\ =\left(A+\left(-B\right)\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->A+\left(A+\left(-B\right)\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(-B\right)\\ =A^2+\left(-B\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->A+A·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(-B\right)+\left(-B\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(-B\right)\\ =A^2-B·\; <!--\; middle\; dot\; -->A-A-B+{\left(-1\right)}^2{B}^2\\ =A^2-A·\; <!--\; middle\; dot\; -->B-A·\; <!--\; middle\; dot\; -->B+B^2\\ =A^2-2A·\; <!--\; middle\; dot\; -->B+B^2\end{array}$

   (証明終)