数学 - 集合と位相 - 位相空間 - R^nの距離と位相(開区間と閉区間、開集合と閉集合)

集合・位相入門
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(位相空間)、1(R^nの距離と位相)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   
   $c=\left(c_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,c_n\right)$

   を開区間の任意の点とする。

   $0<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}<\min \left\{d\left(c_1,a_1\right),d\left(c_1,b_1\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,d\left(c_n,a_n\right),d\left(c_n,b_n\right)\right\}$

   とおけば、

   $\left(c_k-k,c_k+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->\left(a_k,b_k\right)\left(k=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

   となり、すなわち

   $B\left(c;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)$

   は開区間 に含まれる。

   よって開区間の任意の点は開区間の内点なので、開区間は開集合である。

   $c=\left(c_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,c_n\right)$

   c を閉区間の補集合の任意の点とする。

   $0<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}<\min \left\{d\left(c_1,a_1\right),d\left(c_1,b_1\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,d\left(c_n,a_n\right),d\left(c_n,b_n\right)\right\}$

   とおけば、

   $\left[a_i,b_i\right]\cap \; <!--\; intersection\; -->\left(c_1-\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->},c_1+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

   よって、

   $B\left(c;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)$

   は閉区間の補集合に含まれる。

   よって、閉区間の補集合は開集合である。

   ゆえに、閉区間は開集合の補集合なので閉集合である。

   （証明終）