数学 - 集合と位相 - 位相空間 - R^nの距離と位相(閉包、最小の閉集合)

集合・位相入門
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(位相空間)、1(R^nの距離と位相)、問題6<.を取り組んでみる。

6. 
   

   N を M を含む任意の閉集合とする。

   このとき 、

   $N^c$

   は開集合である。

   よって、

   $N^{co}$

   は、

   $N^c$

   に含まれる最大の開集合である。

   $\begin{array}{}{N}^c\subset \; <!--\; subset\; of\; -->M^o\\ N^{cc}\supset \; <!--\; superset\; of\; -->M^{oc}\\ N\supset \; <!--\; superset\; of\; -->\stackrel{-}{M}\end{array}$

   M の閉包について、

   $\stackrel{-}{M}={\left(M^o\right)}^c$

   であり、閉集合の補集合なので閉集合である。

   よって、 M の閉包は M を含む最小の閉等合である。

   （証明終）