数学 - 代数学 - 群 - 剰余類分解(部分群、左剰余類全部の集合と右剰余類全部の集合)

代数系入門
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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、4(剰余類分解)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $a,b\in \; <!--\; element\; of\; -->aH$

   とする。

   $\begin{array}{}x={\mathrm{ha}}^{-1}\in \; <!--\; element\; of\; -->H{a}^{-1}\left(h\in \; <!--\; element\; of\; -->H\right)\\ x{\left(b^{-1}\right)}^{-1}\\ =xb\\ ={\mathrm{ha}}^{-1}b\\ =hh\text{'}\left(h\text{'}\in \; <!--\; element\; of\; -->H\right)\\ \in \; <!--\; element\; of\; -->H\end{array}$

   よって、

   $x\in \; <!--\; element\; of\; -->H{b}^{-1}$

   同柱に、

   $x\in \; <!--\; element\; of\; -->H{b}^{-1}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->x\in \; <!--\; element\; of\; -->H{a}^{-1}$

   ゆえに、

   $H{a}^{-1}=H{b}^{-1}$

   よって、代表 のとり方によらず一意的に定まる。

   また、 写像

   $\begin{array}{}f:Q_l\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->Q_r\\ f\left(aH\right)=H{a}^{-1}\end{array}$

   上記の逆を同様に考えれば、

   $H{a}^{-1}=H{b}^{-1}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->aH=bH$

   なので単射、任意の G の元 a に対し、

   $f\left(aH\right)=H{a}^{-1}$

   なので全射、よって全単射である。