数学 - 解析学 - 重積分 - 一般の集合の上の積分(基本的諸命題、面積確定、面積が零の集合上の積分の値)

解析入門〈6〉
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解析入門〈6〉 重積分/重積分の変数変換/微分形式とその積分/ルベーグ積分(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第23章(重積分)、23.2(一般の集合の上の積分)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   

   f は A 上で 有界な関数なので、ある実数 m、 M が存在して、

   $m\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->f\left(x,y\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->M$

   また、

   $mu\left(A\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{A}{\int \; <!--\; integral\; -->}f\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->Mu\left(A\right)$

   なので、

   $\begin{array}{}m·\; <!--\; middle\; dot\; -->0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{A}{\int \; <!--\; integral\; -->}f\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->M·\; <!--\; middle\; dot\; -->0\\ 0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{A}{\int \; <!--\; integral\; -->}f\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->0\end{array}$

   よって、

   $\underset{A}{\int \; <!--\; integral\; -->}f=0$

   が成り立つ。