数学 - Python - 線型代数 - 行列の標準化 - 漸化式で定められる数列(再論)(長さ3の同次1次漸化式の一般項、固有多項式(特性多項式)、連立方程式の解)

線型代数入門
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo))
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo))
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo))

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(行列の標準化)、14(漸化式で定められる数列(再論))、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   固有多項式は、

   $\begin{array}{}f\left(x\right)\\ =x^3-6x^2+12x-8\\ =\left(x-2\right)\left(x^2-4x+4\right)\\ =\left(x-2\right){\left(x-2\right)}^2\\ ={\left(x-2\right)}^3\end{array}$

   よって、一般項は A、 B、 C を定数として、

   $\begin{array}{}{a}_n=A·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^n+B\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)2^{n-1}+C\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)2^{n-2}\\ =A·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^n+Bn{2}^{n-1}+Cn\left(n-1\right)2^{n-3}\end{array}$

   最初の3項より、

   $\begin{array}{}{a}_0=A=3\\ a_1=2A+B=3\\ a_2=4A+4B+C=6\end{array}$

   これを解く。

   $\begin{array}{}6+B=3\\ B=-3\\ C=6\end{array}$

   よって、求める一般項は、

   $\begin{array}{}{a}_n=3·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^n-3·\; <!--\; middle\; dot\; -->n·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^{n-1}+6n\left(n-1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^{n-3}\\ =3·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^n-3n{2}^{n-1}+3n^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^{n-2}-3n·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^{n-2}\\ =3·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^{n-2}\left(4-2n+n^2-n\right)\\ =3·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^{n-2}\left(n^2-3n+4\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('2.')


def a(n):
    if n == 0:
        return 3
    if n == 1:
        return 3
    if n == 2:
        return 6
    return 6 * a(n - 1) - 12 * a(n - 2) + 8 * a(n - 3)


n = symbols('n')
an = 3 * 2 ** (n - 2) * (n ** 2 - 3 * n + 4)


for m in range(10):
    t = a(m)
    s = an.subs({n: m})
    print(f'n = {m}, {t}, {s}, {t == s}')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
2.
n = 0, 3, 3, True
n = 1, 3, 3, True
n = 2, 6, 6, True
n = 3, 24, 24, True
n = 4, 96, 96, True
n = 5, 336, 336, True
n = 6, 1056, 1056, True
n = 7, 3072, 3072, True
n = 8, 8448, 8448, True
n = 9, 22272, 22272, True
$