数学 - Python - 線型代数 - 行列の標準化 - 漸化式で定められる数列(再論)(長さ4の同次1次漸化式の一般項、固有多項式(特性多項式)、連立方程式の解、重解、複素数)

学習環境

線型代数入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第8章(行列の標準化)、14(漸化式で定められる数列(再論))、問題3.を取り組んでみる。

固有多項式。

$\begin{array}{l} f (x) \\ = x^{4} + 2 x^{2} + 1 \\ = {(x^{2} + 1)}^{2} \\ = {(x + i)}^{2} {(x - i)}^{2} \end{array}$

一般項は、 A、 B、 C、 D を定数として、

$\begin{array}{l} a_{n} = A (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) i^{n} + B (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) i^{(n - 1)} + C (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) {(- i)}^{n} + D (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) {(- i)}^{(n - 1)} \\ = A i^{n} + n B i^{(n - 1)} + C {(- i)}^{n} + n D {(- i)}^{(n - 1)} \end{array}$

最初の4項より、

$\begin{array}{l} a_{0} = A + C = 0 \\ a_{1} = A i + B - C i + D = 1 \\ a_{2} = - A + 2 B i - C - 2 D i = 2 \\ a_{3} = - A i - 3 B + C i - 3 D = 3 \end{array}$

これを解く。

$\begin{array}{l} C = - A \\ A i + B + A i + D = 1 \\ - A + 2 B i + A - 2 D i = 2 \\ - A i - 3 B - A i - 3 D = 3 \\ 2 A i + B + D = 1 \\ B i - D i = 1 \\ - 2 A i - 3 B - 3 D = 3 \\ (B - D) i = 1 \\ B - D = - i \\ D = B + i \\ 2 A i + B + B + i = 1 \\ - 2 A i - 3 B - 3 B - 3 i = 3 \\ 2 A i + 2 B = 1 - i \\ - 2 A i - 6 B = 3 + 3 i \\ - 4 B = 4 + 2 i \\ B = - 1 - \frac{1}{2} i \\ 2 A i - 2 - i = 1 - i \\ 2 A i = 3 \\ A = - \frac{3}{2} i \\ D = - 1 - \frac{1}{2} i + i = - 1 + \frac{1}{2} i \\ C = \frac{3}{2} i \end{array}$

よって、求める一般項は、

$\begin{array}{l} a_{n} = - \frac{3}{2} i^{(n + 1)} + n (- 1 - \frac{1}{2} i) i^{(n - 1)} + \frac{3}{2} i {(- i)}^{n} + n (- 1 + \frac{1}{2} i) {(- i)}^{n - 1} \\ = \frac{3}{2} ({(- 1)}^{n} - 1) i^{(n + 1)} + n ((- 1 - \frac{1}{2} i) i^{n - 1} + (- 1 + \frac{1}{2} i) {(- 1)}^{n - 1} i^{n - 1}) \\ = \frac{3}{2} ({(- 1)}^{n} - 1) i^{(n + 1)} + n (- 1 - \frac{1}{2} i + {(- 1)}^{n} + \frac{1}{2} {(- 1)}^{n - 1} i) i^{n - 1} \end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational, I, solve

print('3.')


def a(n):
    if n in set(range(4)):
        return n
    return -2 * a(n - 2) - a(n - 4)


n = symbols('n')
an = Rational(3, 2) * ((-1) ** n - 1) * I ** (n + 1) + \
    n * (-1 - Rational(1, 2) * I + (-1) ** n +
         Rational(1, 2) * (-1) ** (n - 1) * I) * I ** (n - 1)

for m in range(10):
    t = a(m)
    s = an.subs({n: m}).simplify()
    print(f'n = {m}, {t}, {s}, {t == s}')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
n = 0, 0, 0, True
n = 1, 1, 1, True
n = 2, 2, 2, True
n = 3, 3, 3, True
n = 4, -4, -4, True
n = 5, -7, -7, True
n = 6, 6, 6, True
n = 7, 11, 11, True
n = 8, -8, -8, True
n = 9, -15, -15, True
$

Kamimura's blog

2018年11月2日金曜日

数学 - Python - 線型代数 - 行列の標準化 - 漸化式で定められる数列(再論)(長さ4の同次1次漸化式の一般項、固有多項式(特性多項式)、連立方程式の解、重解、複素数)

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