数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 重積分 - 一般の集合の上の積分(双曲線、面積)

解析入門(下)
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第23章(重積分)、23.2(一般の集合の上の積分)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   直線の方程式。

   $x=\frac{x_0}{y_0}y$

   双曲線の方程式。

   $\begin{array}{}{x}^2=\left(1+\frac{y^2}{b^2}\right)a^2\\ x^2=\frac{\left(b^2+y^2\right)a^2}{b^2}\\ x=\frac{a}{b}\sqrt{b^2+y^2}\end{array}$

   求める第1象限の部分についての面積。

   $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{y_0}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left(\frac{a}{b}\sqrt{b^2+y^2}-\frac{y_0}{x_0}\right)\mathrm{dy}\\ =\frac{a}{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{y_0}\sqrt{b^2+y^2}\mathrm{dy}-\frac{y_0}{y_0}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{y_0}1\mathrm{dy}\end{array}$

   1つ目の不積分について計算。

   $\begin{array}{}t=y+\sqrt{b^2+y^2}\\ t-y=\sqrt{b^2+y^2}\\ t^2-2ty+y^2=b^2+y^2\\ y=\frac{t^2-b^2}{2t}=\frac{1}{2}\left(t-\frac{b^2}{t}\right)\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{b^2}{t^2}\right)\\ \int \; <!--\; integral\; -->\sqrt{b^2+y^2}\mathrm{dy}\\ =\int \; <!--\; integral\; -->\sqrt{b^2+\frac{1}{4}{\left(t-\frac{b^2}{t}\right)}^2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}\left(1+\frac{b^2}{t^2}\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{4}\int \; <!--\; integral\; -->\sqrt{4b^2+{\left(t-\frac{b^2}{t}\right)}^2}(1+\frac{b^2}{t^2})\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{4}\int \; <!--\; integral\; -->\sqrt{4b^2+t^2-2b^2+\frac{b^4}{t^2}}\left(1+\frac{b^2}{t^2}\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{4}\int \; <!--\; integral\; -->\sqrt{t^2+2b^2+\frac{b^4}{t^2}}\left(1+\frac{b^2}{t^2}\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{4}\int \; <!--\; integral\; -->\left(t+\frac{b^2}{t}\right)\left(1+\frac{b^2}{t^2}\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{4}\int \; <!--\; integral\; -->\left(t+\frac{2b^2}{t}+\frac{b^4}{t^3}\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}{t}^2+2b^2\log t-\frac{b^4}{2t^2}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\left(t-\frac{b^2}{t}\right)\left(t+\frac{b^2}{t}\right)+b^2\log t\right)\end{array}$

   1つ目の計算。

   $\begin{array}{}\frac{1}{4}\left(y+\sqrt{b^2+y^2}-\frac{b^2}{y+\sqrt{b^2+y^2}}\right)\left(y+\sqrt{b^2+y^2}+\frac{b^2}{y+\sqrt{b^2+y^2}}\right)\\ =\frac{1}{4}\frac{\left(2y^2+2y\sqrt{b^2+y^2}\right)\left(2y^2+2b^2+2y\sqrt{b^2+y^2}\right)}{{\left(y+\sqrt{b^2+y^2}\right)}^2}\\ =\frac{\left(y^2+y\sqrt{b^2+y^2}\right)\left(y^2+b^2+y\sqrt{b^2+y^2}\right)}{{\left(y+\sqrt{b^2+y^2}\right)}^2}\\ =\frac{y^2\left(y^2+b^2\right)+\left(y^3+y\left(y^2+b^2\right)\right)\sqrt{b^2+y^2}+y^2\left(b^2+y^2\right)}{{\left(y+\sqrt{b^2+y^2}\right)}^2}\\ =\frac{y\sqrt{y^2+b^2}\left(y\sqrt{y^2+b^2}{T}^2{Y}^2+b^2+y\sqrt{b^2+y^2}\right)}{{\left(y+\sqrt{b^2+y^2}\right)}^2}\\ =y\sqrt{y^2+b^2}\end{array}$

   よって、1つ目の定積分は、

   $\begin{array}{}\frac{a}{b}\frac{1}{2}{\left[y\sqrt{y^2+b^2}+b^2\log \left(y+\sqrt{b^2+y^2}\right)\right]}_0^{y_0}\\ =\frac{a}{b}\frac{1}{2}\left(y_0\sqrt{y_0^2+b^2}+b^2\log \left(y_0+{\sqrt{b^2+y^2}}_0\right)-b^2\log b\right)\\ =\frac{a}{2b}\left(y_0\sqrt{y_0^2+b^2}+b^2\log \frac{y_0+\sqrt{b^2+y_0^2}}{b}\right)\\ =\frac{a{y}_0}{2b}\sqrt{y_0^2+b^2}+\frac{ab}{2}\log \frac{y_0+\sqrt{b^2+y_0^2}}{b}\end{array}$

   よって、求める双曲線の弧で囲まれた図形の面積は、

   $\begin{array}{}\frac{a{y}_0}{2b}\sqrt{y_0^2+b^2}+\frac{ab}{2}\log \frac{y_0+{\sqrt{b^2+y^2}}_0}{b}-\frac{x_0}{y_0}{\left[\frac{1}{2}{y}^2\right]}_0^{y_0}\\ =\frac{a{y}_0}{2b}\sqrt{y_0^2+b^2}+\frac{ab}{2}\log \frac{y_0+\sqrt{b^2+y_0^2}}{b}-\frac{x_0{y}_0}{2}\\ \frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1\\ \frac{x_0^2{b}^2}{a^2}=b^2+y_0^2\\ {\sqrt{b^2+y^2}}_0=\frac{x_{0}b}{a}\\ \frac{y_0+\sqrt{b^2+y_0^2}}{b}\\ =\frac{y_0}{b}+\sqrt{y+\frac{y_0^2}{b^2}}\\ =\frac{y_0}{b}+\frac{x_0}{a}\end{array}$

   ゆえに、

   $\frac{ab}{2}\log \left(\frac{x_0}{a}+\frac{y_0}{b}\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, Integral

print('4.')

a, b, x, y, x0, y0 = symbols('a, b, x, y, x0, y0', positive=True)
f = a / b * sqrt(b ** 2 + y ** 2) - y0 / x0
I = Integral(f, (y, 0, y0))

for t in [f, I, I.doit()]:
    pprint(t.simplify())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
     _________     
    ╱  2    2      
a⋅╲╱  b  + y     y₀
────────────── - ──
      b          x₀

y₀                         
⌠                          
⎮  ⎛     _________     ⎞   
⎮  ⎜    ╱  2    2      ⎟   
⎮  ⎜a⋅╲╱  b  + y     y₀⎟   
⎮  ⎜────────────── - ──⎟ dy
⎮  ⎝      b          x₀⎠   
⌡                          
0                          

         ⎛y₀⎞           __________      
a⋅b⋅asinh⎜──⎟          ╱  2     2      2
         ⎝b ⎠   a⋅y₀⋅╲╱  b  + y₀     y₀ 
───────────── + ────────────────── - ───
      2                2⋅b            x₀

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.005">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-5">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="5">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-5">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="5">
<br>
<label for="n0">n = </label>
<input id="n0" type="number" value="2">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample4.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let a = 2,
    b = 3,
    fns = [[x => Math.sqrt((x ** 2 / a ** 2 - 1) * b ** 2), 'red']];

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);
            
    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }
    
    let points = [],
        lines = [];
    
    fns
        .forEach((o) => {
            let [fn, color] = o;
            
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = fn(x);
                
                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);

    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);
    p(fns.join('\n'));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

x => Math.sqrt((x ** 2 / a ** 2 - 1) * b ** 2),red

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
n =