数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 直線と平面(3次元空間における点と平面の距離)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題18.を取り組んでみる。

18. 
    

    点 P を通り、ベクトル N の向きを持つ直線のパラメーター方程式。

    $\begin{array}{}\left(x,y,z\right)\\ =\left(1,3,5\right)+t\left(-1,1,-1\right)\\ =\left(1-t,3+t,5-t\right)\end{array}$

    点 Q を通り、ベクトル N に垂直な平面の方程式。

    $\begin{array}{}\left(X-Q\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->N=0\\ -x+y-z=\left(-1,1,7\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(-1,1,-1\right)\\ x-y+z=-\left(1+1-7\right)\\ x-y+z=5\end{array}$

    直線と平面の交点を求める。

    $\begin{array}{}\left(1-t\right)-\left(3+t\right)+\left(5-t\right)=5\\ 3-3t=5\\ t=-\frac{2}{3}\\ P\text{'}\\ =\left(1+\frac{2}{3},3-\frac{2}{3},5+\frac{2}{3}\right)\end{array}$

    求める点 P から平面への距離。

    $\begin{array}{}\left|PP\text{'}\right|\\ =\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}\\ =\sqrt{\frac{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^2}{3^2}}\\ =\frac{2}{\sqrt{3}}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('18.')
t = symbols('t')

x, y, z = Matrix([1, 3, 5]) + t * Matrix([-1, 1, -1])

eq = (Matrix([x, y, z]) - Matrix([-1, 1, 7])).dot(Matrix([-1, 1, -1]))

pprint(solve(eq, t, dict=True))

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample18.py
18.
[{t: -2/3}]
$