数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 直線と平面(3次元空間における点と平面の距離)

ラング線形代数学(上)
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題20.を取り組んでみる。

20. 
    

    点（1，1， 2）を通り、 問題 の平面に垂直な方向の向きを持っ直線のパラメーター方程式は

    $\begin{array}{}\left(x,y,z\right)\\ =\left(1,1,2\right)+t\left(3,1,-5\right)\\ =\left(1+3t,1+t,2-5t\right)\end{array}$

    直線と平面の交点を求める。

    $\begin{array}{}3\left(1+3t\right)+\left(1+t\right)-5\left(2-5t\right)=2\\ 3+9t+1+t-10+25t=2\\ 35t=8\\ t=\frac{8}{35}\\ \left(1+3·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{8}{35},1+\frac{8}{35},2-5·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{8}{35}\right)\end{array}$

    よって求める点に平面の距離。

    $\begin{array}{}\frac{1}{35}\sqrt{{\left(3·\; <!--\; middle\; dot\; -->8\right)}^2+8^2+{\left(5·\; <!--\; middle\; dot\; -->8\right)}^2}\\ =\frac{8}{35}\sqrt{9+1+25}\\ =\frac{8\sqrt{35}}{35}\\ =\frac{8}{\sqrt{35}}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('20.')
t = symbols('t')

x, y, z = Matrix([1, 1, 2]) + t * Matrix([3, 1, -5])
eq = 3 * x + y - 5 * z - 2
ts = solve(eq, t)
pprint(ts)

d = {t: ts[0]}
v = Matrix([a.subs(d) for a in [x, y, z]]) - Matrix([1, 1, 2])

for s in [v, v.norm()]:
    pprint(s)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample20.py
20.
[8/35]
⎡ 24 ⎤
⎢ ── ⎥
⎢ 35 ⎥
⎢    ⎥
⎢8/35⎥
⎢    ⎥
⎣-8/7⎦

8⋅√35
─────
  35 

$