数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(極座標の場合の長さの公式、三角関数(正弦と余弦)の等式の応用)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
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• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo))
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo))
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo))

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、1(曲線の長さ)の練習問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}{\int \; <!--\; integral\; -->}_{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1}^{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2}\sqrt{{\left(\frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}f\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2+{\left(\frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}f\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1}{\overset{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\left(f\text{'}\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-f\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2+{\left(f\text{'}\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+f\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1}{\overset{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{f\text{'}{\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2\left({\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+f{\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2\left({\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1}{\overset{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{f\text{'}{\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2+f{\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_1}{\overset{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{f{\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2+f\text{'}{\left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, sqrt, Function, Derivative

θ = symbols('θ')
f = Function('f')
x = f(θ) * cos(θ)
y = f(θ) * sin(θ)

pprint(sqrt(Derivative(x, θ, 1) ** 2 + Derivative(y, θ, 1) ** 2).doit().simplify())

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
     _____________________
    ╱                   2 
   ╱   2      ⎛d       ⎞  
  ╱   f (θ) + ⎜──(f(θ))⎟  
╲╱            ⎝dθ      ⎠  
$