数学 - Python - 解析学 - 重積分の変数変換 - アフィン変換と測度(必要十分条件、アフィン空間とベクトル部分空間)

解析入門(下)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.1(アフィン変換と測度)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   

   E、 V をアフィン部分空間、ベクトル部分空間とする。

   $E=\left\{v+a|v\in \; <!--\; element\; of\; -->V\right\}$

   E の任意の元 x、 y に対して

   $\begin{array}{}x=x_0+a\\ y=y_0+a\\ \mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}x+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}y\\ =\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\left(x_0+a\right)+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\left(y_0+a\right)\\ =\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}{x}_0+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}{y}_0\right)+\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)a\\ =\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}{x}_0+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}{y}_0\right)+a\\ =v_0+a\\ \left(v_0\in \; <!--\; element\; of\; -->V\right)\end{array}$

   よって、

   $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}x+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}y\in \; <!--\; element\; of\; -->E$

   ゆえに、 (a)ならば(b)である。

   $\begin{array}{}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p=1\\ {\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->1\\ {\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1{x}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i{x}_i+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p{x}_p\\ ={\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1{x}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p{x}_p+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i{x}_i\\ =\left(1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\right)\left(\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}{x}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p}{x}_p\right)+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i{x}_i\\ \frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}\\ =\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}\\ =\frac{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}\\ =1\\ {\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1{x}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p{x}_p\\ =\left(1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\right)v+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i{x}_i\left(v\in \; <!--\; element\; of\; -->E\right)\end{array}$

   仮定(b)より、

   $\begin{array}{}\left(1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\right)v+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i{x}_i\in \; <!--\; element\; of\; -->E\\ {\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1{x}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p{x}_p\in \; <!--\; element\; of\; -->E\end{array}$

   よって帰納法により、(b)ならは（c）である。

   $\begin{array}{}{x}_0\in \; <!--\; element\; of\; -->E\\ V=\left\{x-x_0|x\in \; <!--\; element\; of\; -->E\right\}\\ u,v\in \; <!--\; element\; of\; -->V\\ u=x-x_0\\ v=y-x_0\\ x,y\in \; <!--\; element\; of\; -->E\\ a,b\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\\ au+bv+x_0\\ =a\left(x-x_0\right)+b\left(y-x_{\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}}\right)+x_0\\ =ax+by+\left(1-a-b\right)x_0\\ a+b+\left(1-a-b\right)=1\end{array}$

   よって(c)より、

   $au+bv+x_0\in \; <!--\; element\; of\; -->E$

   ゆえに、

   $au+bv\in \; <!--\; element\; of\; -->V$

   なので、 V はベクトル部分空間である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot

print('1.')

x = symbols('x')

V = x
E1 = x + 2
E2 = x - 3
p = plot(V, E1, E2, show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color

p.save('sample1.svg')

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
$