数学 - Python - 解析学 - 重積分の変数変換 - アフィン変換と測度(必要十分条件、線形写像、線形変換)

解析入門(下)
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学習環境

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• iPad Pro + Apple Pencil
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.1(アフィン変換と測度)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   
   • 
     

     線形変換L、ベクトル b を

     $T\left(x\right)=L\left(x\right)+b$

     を満たすものとする。

     このとき、

     $\begin{array}{}T\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}x+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}y\right)\\ =L\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}x+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}y\right)+b\\ =\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}L\left(x\right)+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}L\left(y\right)+\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)b\\ =\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\left(L\left(x\right)+b\right)+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\left(L\left(y\right)+b\right)\\ =\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}T\left(x\right)+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}T\left(y\right)\end{array}$

     よって、(a)ならば(b)が成り立つ。

   • 
     
     $\begin{array}{}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->1\\ {\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p=1\\ {\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i=1\\ {\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p=1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\\ \frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}=1\\ T\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1{x}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p{x}_p+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i{x}_i\right)\\ =T\left(\left(1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\right)\left(\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}{x}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}{x}_p\right)+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i{x}_i\right)\end{array}$

     ここで、

     $\left(1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\right)+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i=1$

     なので仮定(b)より、

     $\begin{array}{}\left(1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\right)T\left(\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}{x}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}{x}_p\right)+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{i}T\left(x_i\right)\\ =\left(1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i\right)\left(\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}T\left(x_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_p}{1-{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_i}T\left(x_p\right)\right)+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{i}T\left(x_i\right)\\ =\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->},T\left(x_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{p}T\left(x_p\right)+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{i}T\left(x_i\right)\\ ={\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{1}T\left(x_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_{p}T\left(x_p\right)\end{array}$

     よって、帰納法により(c)が成り立つ。

     ゆえに、(b)ならば(c)である。

   • 
     
     $L\left(x\right)=T\left(x\right)-T\left(0\right)$

     とおく。

     $\begin{array}{}L\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}x+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}y\right)\\ =T\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}x+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}y\right)-T\left(0\right)\\ =T\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}x+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}y+\left(1-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\right)0\right)-T\left(0\right)\\ =\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}T\left(x\right)+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}T\left(y\right)+T\left(0\right)-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}T\left(0\right)-\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}T\left(0\right)-T\left(0\right)\\ =\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\left(T\left(x\right)-T\left(0\right)\right)+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\left(T\left(y\right)-T\left(0\right)\right)\\ =\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}L\left(x\right)+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}L\left(x\right)\end{array}$

     よって、 L は線形写像なので、 T はアフィン変換である。

     ゆえに(c)ならば(a)である。

     以上より、(a)、(b)、(c) は互いに同値である。

     （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Rational

print('1.')

x, y = symbols('x, y')
a, b = symbols('a, b')
L = 2 * x
T = L + 3


eq1 = T.subs({x: a * x + b * y})
eq2 = a * T + b * T.subs({x: y})

d = {a: Rational(1, 3), b: Rational(2, 3)}
for t in [eq1.subs(d), eq2.subs(d), eq1.subs(d) == eq2.subs(d)]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
1.
2⋅x   4⋅y    
─── + ─── + 3
 3     3     

2⋅x   4⋅y    
─── + ─── + 3
 3     3     

True

$