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2018年11月25日日曜日

学習環境

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.1(アフィン変換と測度)、問題2.を取り組んでみる。



    • 線形変換L、ベクトル b を

      T(x)=L(x)+b

      を満たすものとする。

      このとき、

      T(αx+βy)=L(αx+βy)+b=αL(x)+βL(y)+(α+β)b=α(L(x)+b)+β(L(y)+b)=αT(x)+βT(y)

      よって、(a)ならば(b)が成り立つ。


    • αi1α1++αi++αp=1α1++αp+αi=1α1++αp=1-αiα11-αi++αp1-αi=1T(α1x1++αpxp+αixi)=T((1-αi)(α11-αix1++αp1-αixp)+αixi)

      ここで、

      (1-αi)+αi=1

      なので仮定(b)より、

      (1-αi)T(α11-αix1++αp1-αixp)+αiT(xi)=(1-αi)(α11-αiT(x1)++αp1-αiT(xp))+αiT(xi)=α,T(x1)++αpT(xp)+αiT(xi)=α1T(x1)++αpT(xp)

      よって、帰納法により(c)が成り立つ。

      ゆえに、(b)ならば(c)である。


    • L(x)=T(x)-T(0)

      とおく。

      L(αx+βy)=T(αx+βy)-T(0)=T(αx+βy+(1-α-β)0)-T(0)=αT(x)+βT(y)+T(0)-αT(0)-βT(0)-T(0)=α(T(x)-T(0))+β(T(y)-T(0))=αL(x)+βL(x)

      よって、 L は線形写像なので、 T はアフィン変換である。

      ゆえに(c)ならば(a)である。

      以上より、(a)、(b)、(c) は互いに同値である。

      (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Rational

print('1.')

x, y = symbols('x, y')
a, b = symbols('a, b')
L = 2 * x
T = L + 3


eq1 = T.subs({x: a * x + b * y})
eq2 = a * T + b * T.subs({x: y})

d = {a: Rational(1, 3), b: Rational(2, 3)}
for t in [eq1.subs(d), eq2.subs(d), eq1.subs(d) == eq2.subs(d)]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
1.
2⋅x   4⋅y    
─── + ─── + 3
 3     3     

2⋅x   4⋅y    
─── + ─── + 3
 3     3     

True

$

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