学習環境
- Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.1(アフィン変換と測度)、問題2.を取り組んでみる。
線形変換L、ベクトル b を
T(x)=L(x)+bを満たすものとする。
このとき、
T(αx+βy)=L(αx+βy)+b=αL(x)+βL(y)+(α+β)b=α(L(x)+b)+β(L(y)+b)=αT(x)+βT(y)よって、(a)ならば(b)が成り立つ。
- αi≠1α1+…+αi+…+αp=1α1+…+αp+αi=1α1+…+αp=1-αiα11-αi+…+αp1-αi=1T(α1x1+…+αpxp+αixi)=T((1-αi)(α11-αix1+…+αp1-αixp)+αixi)
ここで、
(1-αi)+αi=1なので仮定(b)より、
(1-αi)T(α11-αix1+…+αp1-αixp)+αiT(xi)=(1-αi)(α11-αiT(x1)+…+αp1-αiT(xp))+αiT(xi)=α,T(x1)+…+αpT(xp)+αiT(xi)=α1T(x1)+…+αpT(xp)よって、帰納法により(c)が成り立つ。
ゆえに、(b)ならば(c)である。
- L(x)=T(x)-T(0)
とおく。
L(αx+βy)=T(αx+βy)-T(0)=T(αx+βy+(1-α-β)0)-T(0)=αT(x)+βT(y)+T(0)-αT(0)-βT(0)-T(0)=α(T(x)-T(0))+β(T(y)-T(0))=αL(x)+βL(x)よって、 L は線形写像なので、 T はアフィン変換である。
ゆえに(c)ならば(a)である。
以上より、(a)、(b)、(c) は互いに同値である。
(証明終)
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, plot, Rational print('1.') x, y = symbols('x, y') a, b = symbols('a, b') L = 2 * x T = L + 3 eq1 = T.subs({x: a * x + b * y}) eq2 = a * T + b * T.subs({x: y}) d = {a: Rational(1, 3), b: Rational(2, 3)} for t in [eq1.subs(d), eq2.subs(d), eq1.subs(d) == eq2.subs(d)]: pprint(t) print()
入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))
$ ./sample2.py 1. 2⋅x 4⋅y ─── + ─── + 3 3 3 2⋅x 4⋅y ─── + ─── + 3 3 3 True $
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