数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 – 基底(平面上の2つのベクトル、一次従属、一次独立、十分条件)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   2つのベクトルが1次従属とする。

   このとき、

   $x\left(a,b\right)+y\left(c,d\right)=0$

   ならば、

   $x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\vee \; <!--\; logical\; or\; -->y\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   となる x、 y が存在する。

   x が零ではない場合、

   $\begin{array}{}\left(xa+yc,xb+yd\right)=\left(0,0\right)\\ xa+yc=0\\ a=-\frac{yc}{x}\\ b=-\frac{yd}{x}\\ ad-bc\\ =\frac{-yc}{x}d+\frac{yd}{x}c\\ =0\end{array}$

   y が零ではない場合、

   $\begin{array}{}c=-\frac{xa}{y}\\ d=-\frac{xb}{y}\\ ad-bc\\ =-\frac{xb}{y}a+\frac{xa}{y}b\\ =0\end{array}$

   よって、2つのベクトルが一次従属ならば

   $ad-bc=0$

   である。

   ゆえに、その対偶を考えれば、

   $ad-bc\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   ならば2つのベクトルは一次独立である。

   $\begin{array}{}ad-bc=0\\ ad=bc\end{array}$

   とする。

   $x\left(a,b\right)+y\left(c,d\right)=\left(0,0\right)$

   を法たす x、 y を考える。

   $\left(xa+yc,bx+yd\right)=\left(0,0\right)$

   場合分け。

   $a=0$

   のとき、

   $\left(b=0\right)\vee \; <!--\; logical\; or\; -->\left(c=0\right)$

   b、 c が共に零の場合、

   $\left(0,\mathrm{dy}\right)=\left(0,0\right)$

   よって、

   $x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0,y=0$

   のとき成り立つので1次従属。

   $b=0,c\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   のとき、

   $\left(yc,yd\right)=\left(0,0\right)$

   よって

   $x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0,y\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   のとき成り立つので1次従属。

   $b\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0,c=0$

   のとき、

   $\left(0,bx+yd\right)=\left(0,0\right)$

   よって

   $x=-d,y=b\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   のとき成り立つので1次従属。

   同様に d が零の場合も1次従属である。

   $a\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0,d\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   の場合。

   $b\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0,d\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$
   $\begin{array}{}xa+yc=0\\ y=-\frac{xa}{c}\\ bx-\frac{xa}{c}d=0\\ \left(b-\frac{ad}{c}\right)x=0\\ -\left(\frac{ad-bc}{c}\right)x=0\\ 0x=0\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ y=-\frac{xa}{c}\end{array}$

   のとき成り立つので1次従属である。

   ゆえに、

   $ad-bc=0$

   ならば、2つのベクトルは1次従属である。