学習環境
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- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.3(高次方程式)、連立2次方程式の問38.を取り組んでみる。
z=x+yix,y∈ℝとおく。
z2=(x2-y2)+2xyi2元連立2次方程式、
x2-y2=a2xy=bを満たす x、 y を求める。
b≠0より、
x≠0∧y≠0よって、
y=b2xx2-b24x2=a4x4-4ax2-b2=0x2=2a±√4a2+4b24=a±√a2+b22x=±√a±√a2+b22x は実数なので、
x=±√a+√a2+b22y=b±√a+√a2+b22·2=b±√a+√a2+b2√2=b√-a+√a2+b2±√2√√a2+b2-a√√a2+b2+a=±b√-a+√a2+b2√2√a2+b2-a2=±b√-a+√a2+b2√2√b2=±√-a+√a2+b22·b√b2(複号同順)
場合分け。
b<0の場合、
b√b2=-1よって、
x=±√a+√a2+b22y=∓√-a+√a2+b22z=±(√a+√a2+b22-i√-a+√a2+b22)また、
b>0の場合、
b√b2=1よって、
y=±√-a+√a2+b22z=±(√a+√a2+b22+i√-a+√a2+b22)(証明終)
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, solve, plot, I, sqrt print('38.') a, x, y = symbols('a, x, y', real=True) b = symbols('b', nonzero=True, real=True) alpha = a + b * I z = x + y * I eq = z ** 2 - alpha s = solve(eq, x, y, dict=True) for d in s: for k, v in d.items(): for o in [k, v]: pprint(o.simplify()) print() print() print('-' * 50)
入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))
$ ./sample38.py 38. x ___________________ ╱ _________ ⎛ _________⎞ ╱ ╱ 2 2 ⎜ ╱ 2 2 ⎟ √2⋅╲╱ -a - ╲╱ a + b ⋅⎝-a + ╲╱ a + b ⎠ ────────────────────────────────────────────── 2⋅b y _______________________ ╱ _________ ╱ ╱ 2 2 -╲╱ -2⋅a - 2⋅╲╱ a + b ───────────────────────────── 2 -------------------------------------------------- x ___________________ ╱ _________ ⎛ _________⎞ ╱ ╱ 2 2 ⎜ ╱ 2 2 ⎟ √2⋅╲╱ -a - ╲╱ a + b ⋅⎝a - ╲╱ a + b ⎠ ───────────────────────────────────────────── 2⋅b y _______________________ ╱ _________ ╱ ╱ 2 2 ╲╱ -2⋅a - 2⋅╲╱ a + b ─────────────────────────── 2 -------------------------------------------------- x ___________________ ╱ _________ ⎛ _________⎞ ╱ ╱ 2 2 ⎜ ╱ 2 2 ⎟ -√2⋅╲╱ -a + ╲╱ a + b ⋅⎝a + ╲╱ a + b ⎠ ─────────────────────────────────────────────── 2⋅b y _______________________ ╱ _________ ╱ ╱ 2 2 -╲╱ -2⋅a + 2⋅╲╱ a + b ───────────────────────────── 2 -------------------------------------------------- x ___________________ ╱ _________ ⎛ _________⎞ ╱ ╱ 2 2 ⎜ ╱ 2 2 ⎟ √2⋅╲╱ -a + ╲╱ a + b ⋅⎝a + ╲╱ a + b ⎠ ───────────────────────────────────────────── 2⋅b y _______________________ ╱ _________ ╱ ╱ 2 2 ╲╱ -2⋅a + 2⋅╲╱ a + b ─────────────────────────── 2 -------------------------------------------------- $
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