数学 – Python - 数学はここから始まる - 数 – 高次方程式 – 高次方程式の解法(因数定理、重解、3次式、4次式)

数学読本〈1〉
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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.3(高次方程式)、高次方程式の解法の問27.を取り組んでみる。

27. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{}{x}^3-4x+3\\ =\left(x-1\right)\left(x^2+x-3\right)\\ x^2+x-3=0\\ x=\frac{-1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{13}}{2}\\ x=1,\frac{-1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{13}}{2}\end{array}$
    2. 
       
       $\begin{array}{}{x}^3-4x^2-3x+18\\ =\left(x+2\right)\left(x^2-6x+9\right)\\ =\left(x+2\right){\left(x-3\right)}^2\\ x=-2,3\end{array}$
    3. 
       
       $\begin{array}{}2x^3-4x^2-3x+6\\ =\left(x-2\right)\left(2x^2-3\right)\\ =\left(x-2\right)2\left(x+\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\left(x-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\\ x=2,\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\frac{\sqrt{6}}{2}\end{array}$
    4. 
       
       $\begin{array}{}2x^3-x^2+x+1\\ =\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(2x^2-2x+2\right)\\ =2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x^2-x+1\right)\\ x^2-x+1=0\\ x=\frac{1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}i}{2}\\ x=-\frac{1}{2},\frac{1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}i}{2}\end{array}$
    5. 
       
       $\begin{array}{}{x}^4+2x^3+3x^2-2x-4\\ =\left(x-1\right)\left(x^3+3x^2+6x+4\right)\\ =\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+2x+4\right)\\ x^2+2x+4=0.\\ x=-1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}i\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1,-1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}i\end{array}$
    6. 
       
       $\begin{array}{}{x}^4-4x^2+16x+32\\ =\left(x+2\right)\left(x^3-2x^2+16\right)\\ =\left(x+2\right)\left(x+2\right)\left(x^2-4x+8\right)\\ x^2-4x+8=0\\ x=2\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{4-8}\\ =2\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->2i\\ x=-2,2\left(1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->i\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, sqrt, I, plot

print('27.')

x = symbols('x')
eqs = [x ** 3 - 4 * x + 3,
       x ** 3 - 4 * x ** 2 - 3 * x + 18,
       2 * x ** 3 - 4 * x ** 2 - 3 * x + 6,
       2 * x ** 3 - x ** 2 + x + 1,
       x ** 4 + 2 * x ** 3 + 3 * x ** 2 - 2 * x - 4,
       x ** 4 - 4 * x ** 2 + 16 * x + 32]

for i, eq in enumerate(eqs, 1):
    print(f'({i})')
    pprint(solve(eq, x))
    print()

p = plot(*eqs, ylim=(-10, 10), legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']

for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample27.png')

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample27.py
27.
(1)
⎡     1   √13    √13   1⎤
⎢1, - ─ + ───, - ─── - ─⎥
⎣     2    2      2    2⎦

(2)
[-2, 3]

(3)
⎡   -√6   √6⎤
⎢2, ────, ──⎥
⎣    2    2 ⎦

(4)
⎡      1   √3⋅ⅈ  1   √3⋅ⅈ⎤
⎢-1/2, ─ - ────, ─ + ────⎥
⎣      2    2    2    2  ⎦

(5)
[-1, 1, -1 - √3⋅ⅈ, -1 + √3⋅ⅈ]

(6)
[-2, 2 - 2⋅ⅈ, 2 + 2⋅ⅈ]

$