数学 – Python - JavaScript - 数学はここから始まる - 数 – 高次方程式 – 連立2次方程式(2次と2次の場合、消去法、2次方程式と係数の関係、定数項の消去)

数学読本〈1〉
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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.3(高次方程式)、連立2次方程式の問36.を取り組んでみる。

36. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{}{x}^2-5xy+6y^2=0\\ \left(x-3y\right)\left(x-2y\right)=0\\ x-3y=0\\ y=\frac{1}{3}x\\ x^2+\frac{1}{3}{x}^2+2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{9}{x}^2=56\\ 9x^2+3x^2+2x^2=504\\ 14x^2=504\\ x^2=36\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->6,y=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->2\\ x-2y=0\\ y=\frac{1}{2}x\\ x^2+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}{x}^2=56\\ 2x^2=56\\ x^2=28\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->2\sqrt{7},y=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{7}\end{array}$

       （複号同順）

    2. 
       
       $\begin{array}{}10x^2-4y^2=-6\\ -4x^2+xy+2y^2=6\\ 6x^2+xy-2y^2=0\\ \left(2x-y\right)\left(3x+2y\right)=0\\ 2x-y=0\\ y=2x\\ 10x^2-16x^2=-6\\ x^2=1\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1,y=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->2\\ 3x+2y=0\\ y=-\frac{3}{2}x\\ 10x^2-4·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{9}{4}{x}^2=-6\\ x^2=-6,\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{6}i,y=\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->\frac{3\sqrt{6}}{2}i\end{array}$

       （複号同順）

       
       ここから

       $\begin{array}{}y=-\frac{6}{x}\\ x^2+\frac{36}{x^2}=13\\ x^4-13x^2+36=0\\ \left(x^2-9\right)\left(x^2-4\right)=0\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->3,y=\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->2\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->2,y=\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->3\end{array}$

       （複号同順）

       
       ここから

       $\begin{array}{}y=-\frac{15}{x}\\ x^2-\frac{225}{x^2}=16\\ x^4-16x^2-225=0\\ \left(x^2-25\right)\left(x^2+9\right)=0\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->5,y=\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->3\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->3i,y=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->5i\end{array}$

       （複号同順）

    3. 
       
       $\begin{array}{}3xy=18\\ xy=6\\ x+y=5\end{array}$

       2次方程式の解と係数の関係により、

       $\begin{array}{}{t}^2-5t+6=0\\ \left(t-3\right)\left(t-2\right)=0\\ t=2,3\\ x=2,y=3\\ x=3,y=2\end{array}$
    4. 
       
       $\begin{array}{}60xy+48x-36y-24=0\\ 60xy+45x-35y-20=0\\ 3x-y-4=0\\ y=3x-4\\ 5x\left(3x-4\right)+4x-3\left(3x-4\right)-2=0\\ 15x^2-20x+4x-9x+12-2=0\\ 15x^2-25x+10=0\\ 3x^2-5x+2=0\\ \left(x-1\right)\left(3x-2\right)=0\\ x=1,y=-1\\ x=\frac{2}{3},y=-2\end{array}$
    5. 
       
       $\begin{array}{}y=2-x\\ x^3+{\left(2-x\right)}^3=-4\\ x^3+8-12x+6x^2-x^3+4=0\\ 6x^2-12x+12=0\\ x^2-2x+2=0\\ x=1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{1-2}\\ =1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->i\\ y=1\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->i\end{array}$

       （複号同順）

    6. 
       
       $\begin{array}{}5\left(x^2-y^2\right)=65\\ \left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)=-65\\ \left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2+5\right)=0\\ x^2+y^2=0\\ y^2=-x^2\\ x^2+x^2=13\\ x^2=\frac{13}{2}\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{13}{2}}\\ y^2=-\frac{13}{2}\\ y=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{13}{2}}i\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{13}{2}},y=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{13}{2}}i\\ x^2+y^2+5=0\\ y^2=-x^2-5\\ x^2+x^2+5=13\\ x^2=4\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->2\\ y^2=-4-5=-9\\ y=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->3i\end{array}$

       （符号の順番は任意）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Rational, solve, plot

print('36.')

x, y = symbols('x, y')

ts = [(x ** 2 + x * y + 2 * y ** 2 - 56, x ** 2 - 5 * x * y + 6 * y ** 2),
      (5 * x ** 2 - 2 * y ** 2 + 3, -4 * x ** 2 + x * y + 2 * y ** 2 - 6),
      (x ** 2 + y ** 2 - 13, x * y - 6),
      (x ** 2 - y ** 2 - 16, x * y + 15),
      (2 * y + x + y - 11, 2 * x * y - x - y - 7),
      (5 * x * y + 4 * x - 3 * y - 2, 12 * x * y + 9 * x - 7 * y - 4),
      (x + y - 2, x ** 3 + y ** 3 + 4),
      (x ** 2 - y ** 2 - 13, x ** 4 - y ** 4 + 65)]

for i, t in enumerate(ts, 1):
    print(f'({i})')
    pprint(solve(t, dict=True))


fss = [solve(eq, y) for eq in ts[0]]
fs, gs = fss

p = plot(*fs, *gs, legend=True, show=False)
colors = ['red', 'red', 'green', 'green']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample36.png')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample36.py
36.
(1)
[{x: -6, y: -2}, {x: 6, y: 2}, {x: -2⋅√7, y: -√7}, {x: 2⋅√7, y: √7}]
(2)
⎡                              ⎧             3⋅√6⋅ⅈ⎫  ⎧            -3⋅√6⋅ⅈ ⎫⎤
⎢{x: -1, y: -2}, {x: 1, y: 2}, ⎨x: -√6⋅ⅈ, y: ──────⎬, ⎨x: √6⋅ⅈ, y: ────────⎬⎥
⎣                              ⎩               2   ⎭  ⎩               2    ⎭⎦
(3)
[{x: -3, y: -2}, {x: -2, y: -3}, {x: 2, y: 3}, {x: 3, y: 2}]
(4)
[{x: -5, y: 3}, {x: 5, y: -3}, {x: -3⋅ⅈ, y: -5⋅ⅈ}, {x: 3⋅ⅈ, y: 5⋅ⅈ}]
(5)
[{x: 2, y: 3}, {x: 8, y: 1}]
(6)
[{x: 2/3, y: -2}, {x: 1, y: -1}]
(7)
[{x: 1 - ⅈ, y: 1 + ⅈ}, {x: 1 + ⅈ, y: 1 - ⅈ}]
(8)
[{x: -2, y: -3⋅ⅈ}, {x: -2, y: 3⋅ⅈ}, {x: 2, y: -3⋅ⅈ}, {x: 2, y: 3⋅ⅈ}]
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="1">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.01">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample36.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n';

let fns = [[x => -x / 4 - Math.sqrt(-7 * x ** 2 + 448) / 4, 'red'],
           [x => -x / 4 + Math.sqrt(-7 * x ** 2 + 448) / 4, 'red'],
           [x => x / 3, 'green'],
           [x => x / 2, 'green']];
    
let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        x0 = 10,
        y0 = 12,
        lines = [[-2 * Math.sqrt(7), y1, -2 * Math.sqrt(7), y2, 'blue'],
                 [x1, -Math.sqrt(7), x2, -Math.sqrt(7), 'blue'],
                 [2 * Math.sqrt(7), y1, 2 * Math.sqrt(7), y2, 'brown'],
                 [x1, Math.sqrt(7), x2, Math.sqrt(7), 'brown']];
        
    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

x => -x / 4 - Math.sqrt(-7 * x ** 2 + 448) / 4,red
x => -x / 4 + Math.sqrt(-7 * x ** 2 + 448) / 4,red
x => x / 3,green
x => x / 2,green

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =