数学 - Python - 解析学 - 重積分の変数変換 - 広義の積分(ディリクレの積分、n次元、一般化、ベータ関数、ガンマ関数)

解析入門(下)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.3(広義の積分)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   
   $\begin{array}{}{x}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n=u_1\\ x_2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n=u_1{u}_2\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ x_{n-1}+x_n=u_1{u}_2\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->u_{n-1}\\ x_n=u_1{u}_2\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->u_n\end{array}$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{}{x}_1=u_1\left(1-u_2\right)\\ x_2=u_1{u}_2\left(1-u_3\right)\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ x_{n-1}=u_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->u_{n-1}\left(1-u_n\right)\\ x_n=u_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->u_n\end{array}$

   また、逆に

   $\begin{array}{}{u}_1=x_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n\\ u_2=\frac{x_2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n}{x_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n}\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ u_{n-1}=\frac{x_{n-1}+x_n}{x_{n-2}+x_{n-1}+x_n}\\ u_n=\frac{x_n}{x_{n-1}+x_n}\end{array}$

   となり、

   $x_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->x_n$

   空間の集合 A は

   $u_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->u_n$

   空間の集合 B

   $B:0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->u_i\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

   が対応する。また、内部の点では1対1に対応する。

   ヤコビ行列式を計算するために、パラメーターとして、

   $\begin{array}{}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_1=u_1\\ {\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_2=u_1{u}_2\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ {\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_n=u_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->u_n\end{array}$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{}{x}_1={\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_1-{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_2\\ x_2={\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_2-{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_3\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ x_{n-1}={\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_{n-1}-{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_n\\ x_n={\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_n\end{array}$

   である。

   よって、ヤコビ行列式の値は、

   $\begin{array}{}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n\right)}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\left(u_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,u_n\right)}\\ =\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n\right)}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\left({\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_n\right)}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\left({\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}_n\right)}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\left(u_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,u_n\right)}\\ =\det \left(\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0\\ 0& 1& -1& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& & ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ 0& 0& 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 1\end{array}\right)\det \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& & 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0\\ u_2& u_1& & 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0\\ u_2{u}_3& u_1{u}_3& & u_1{u}_2& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& & ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& & ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ u_2\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->u_n& & \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& & & u_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->u_{n-1}\end{array}\right)\\ =u_1^{n-1}{u}_2^{n-2}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->u_n\end{array}$

   よって、 問題の積分は、

   $\begin{array}{}B\left(p_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+p_n,q\right)B\left(p_2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+p_n,p_1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->B\left(p_n,p_{n-1}\right)\\ =\frac{\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(p_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+p_n\right)\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(q\right)}{\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(p_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+p_n+q\right)}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(p_2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+p_n\right)\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(p_1\right)}{\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(p_2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+p_n+p_1\right)}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->.·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(p_n\right)\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(p_{n-1}\right)}{\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(p_n+p_{n-1}\right)}\\ =\frac{\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(p_1\right)\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(p_n\right)\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(q\right)}{\mathrm{\Gamma \; <!--\; greek\; capital\; letter\; gamma\; -->}\left(p_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+p_n+q\right)}\end{array}$

   である。

   （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot
from sympy.plotting import plot3d

print('3.')

x, y = symbols('x, y')
p = 2
q = 3
s = 4
f2 = x ** (p - 1) * (1 - x) ** q
f3 = x ** (p - 1) * y ** (q - 1) * (1 - x - y) ** (s - 1)

for f in [f2, f3]:
    pprint(f)
    print()

p2 = plot(f2, (x, -0.9, 1.1), legend=True, show=False)
p2.save('sample3.png')

p3 = plot3d(f, show=False)
p3.save('sample3_0.png')

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
   2             3
x⋅y ⋅(-x - y + 1) 
$