数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 複素数(n組の複素数の加法と乗法、内積、共役複素数)

ラング線形代数学(上)
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、6(複素数)、練習問題6.を取り組んでみる。

6. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}\stackrel{-}{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->B,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}\\ =\stackrel{-}{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1{\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_n{\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}_n}\\ =\stackrel{-}{\stackrel{-}{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}_n{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_n}\\ =\stackrel{-}{\stackrel{-}{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\stackrel{-}{\stackrel{-}{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_n}\\ =\stackrel{-}{\stackrel{-}{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}}\stackrel{-}{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1}+...+\stackrel{-}{\stackrel{-}{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n}}\stackrel{-}{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_n}\\ ={\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\stackrel{-}{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n\stackrel{-}{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_n}\\ =⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B+C⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ={\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\stackrel{-}{\left({\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1+{\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}}_1\right)}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n\stackrel{-}{\left({\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_n+{\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}}_n\right)}\\ ={\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\left(\stackrel{-}{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1}+{\stackrel{-}{\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}}}_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n\left({\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}_n+{\stackrel{-}{\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}}}_n\right)\\ ={\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\stackrel{-}{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n\stackrel{-}{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_n}+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\stackrel{-}{{\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}}_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n{\stackrel{-}{\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}}}_n\\ =⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->+⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,C⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\right){\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n\right){\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}_n\\ =\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1{\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n{\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}_n\right)\\ =\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ={\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\stackrel{-}{\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1\right)}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n\stackrel{-}{\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_n\right)}\\ ={\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\stackrel{-}{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}}_n\\ =\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\stackrel{-}{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n\stackrel{-}{{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}_n}\right)\\ =\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ={\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\stackrel{-}{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n{\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}_n\\ ={\left|{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\right|}^2+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\left|{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n\right|}^2\end{array}$

      ここで A が O のとき、

      $\begin{array}{}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =0+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+0\\ =0\end{array}$

      ここで A が O ではない場合、

      $⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->>0$

      （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
import random
from sympy import pprint, symbols, I, Matrix

print('6.')


def dot(a, b):
    return sum([ai * bi.conjugate() for ai, bi in zip(a, b)])


n = 5
a = Matrix(symbols([f'a{i + 1}' for i in range(n)]))
b = Matrix(symbols([f'b{i + 1}' for i in range(n)]))
c = Matrix(symbols([f'c{i + 1}' for i in range(n)]))
o = Matrix([0 for _ in range(n)])
alpha = symbols('a')


lrs = [(dot(a, b), dot(b, a).conjugate()),
       (dot(a, b + c), dot(a, b) + dot(a, c)),
       (dot(alpha * a, b), alpha * dot(a, b)),
       (dot(a, alpha * b), alpha.conjugate() * dot(a, b))]
for l, r in lrs:
    for t in [l, r, l.expand() == r.expand()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

print(dot(o, o) == 0)

for _ in range(n):
    a = Matrix([random.randrange(-5, 6) + random.randrange(-5, 6) * I
                for _ in range(n)])
    for t in [a, dot(a, a), dot(a, a).expand(), dot(a, a) > 0]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
6.
   __      __      __      __      __
a₁⋅b₁ + a₂⋅b₂ + a₃⋅b₃ + a₄⋅b₄ + a₅⋅b₅

   __      __      __      __      __
a₁⋅b₁ + a₂⋅b₂ + a₃⋅b₃ + a₄⋅b₄ + a₅⋅b₅

True


   ⎛__   __⎞      ⎛__   __⎞      ⎛__   __⎞      ⎛__   __⎞      ⎛__   __⎞
a₁⋅⎝b₁ + c₁⎠ + a₂⋅⎝b₂ + c₂⎠ + a₃⋅⎝b₃ + c₃⎠ + a₄⋅⎝b₄ + c₄⎠ + a₅⋅⎝b₅ + c₅⎠

   __      __      __      __      __      __      __      __      __      __
a₁⋅b₁ + a₁⋅c₁ + a₂⋅b₂ + a₂⋅c₂ + a₃⋅b₃ + a₃⋅c₃ + a₄⋅b₄ + a₄⋅c₄ + a₅⋅b₅ + a₅⋅c₅

True


     __        __        __        __        __
a⋅a₁⋅b₁ + a⋅a₂⋅b₂ + a⋅a₃⋅b₃ + a⋅a₄⋅b₄ + a⋅a₅⋅b₅

  ⎛   __      __      __      __      __⎞
a⋅⎝a₁⋅b₁ + a₂⋅b₂ + a₃⋅b₃ + a₄⋅b₄ + a₅⋅b₅⎠

True


   _ __      _ __      _ __      _ __      _ __
a₁⋅a⋅b₁ + a₂⋅a⋅b₂ + a₃⋅a⋅b₃ + a₄⋅a⋅b₄ + a₅⋅a⋅b₅

⎛   __      __      __      __      __⎞ _
⎝a₁⋅b₁ + a₂⋅b₂ + a₃⋅b₃ + a₄⋅b₄ + a₅⋅b₅⎠⋅a

True


True
⎡5 - 4⋅ⅈ⎤
⎢       ⎥
⎢  3⋅ⅈ  ⎥
⎢       ⎥
⎢1 - 5⋅ⅈ⎥
⎢       ⎥
⎢ 5 - ⅈ ⎥
⎢       ⎥
⎣   0   ⎦

9 + (1 - 5⋅ⅈ)⋅(1 + 5⋅ⅈ) + (5 - ⅈ)⋅(5 + ⅈ) + (5 - 4⋅ⅈ)⋅(5 + 4⋅ⅈ)

102

True


⎡-2 - 2⋅ⅈ⎤
⎢        ⎥
⎢-3 + 2⋅ⅈ⎥
⎢        ⎥
⎢   ⅈ    ⎥
⎢        ⎥
⎢-5 + 4⋅ⅈ⎥
⎢        ⎥
⎣-5 + 4⋅ⅈ⎦

1 + (-2 - 2⋅ⅈ)⋅(-2 + 2⋅ⅈ) + (-3 - 2⋅ⅈ)⋅(-3 + 2⋅ⅈ) + 2⋅(-5 - 4⋅ⅈ)⋅(-5 + 4⋅ⅈ)

104

True


⎡-5 + 4⋅ⅈ⎤
⎢        ⎥
⎢  5⋅ⅈ   ⎥
⎢        ⎥
⎢1 + 3⋅ⅈ ⎥
⎢        ⎥
⎢4 + 2⋅ⅈ ⎥
⎢        ⎥
⎣  5⋅ⅈ   ⎦

(1 - 3⋅ⅈ)⋅(1 + 3⋅ⅈ) + (4 - 2⋅ⅈ)⋅(4 + 2⋅ⅈ) + (-5 - 4⋅ⅈ)⋅(-5 + 4⋅ⅈ) + 50

121

True


⎡-3 - 4⋅ⅈ⎤
⎢        ⎥
⎢1 - 2⋅ⅈ ⎥
⎢        ⎥
⎢ 1 + ⅈ  ⎥
⎢        ⎥
⎢-3 + 3⋅ⅈ⎥
⎢        ⎥
⎣2 + 3⋅ⅈ ⎦

(1 - ⅈ)⋅(1 + ⅈ) + (1 - 2⋅ⅈ)⋅(1 + 2⋅ⅈ) + (2 - 3⋅ⅈ)⋅(2 + 3⋅ⅈ) + (-3 - 3⋅ⅈ)⋅(-3 +
 3⋅ⅈ) + (-3 - 4⋅ⅈ)⋅(-3 + 4⋅ⅈ)

63

True


⎡5 - 2⋅ⅈ ⎤
⎢        ⎥
⎢-2 - 3⋅ⅈ⎥
⎢        ⎥
⎢-1 + 3⋅ⅈ⎥
⎢        ⎥
⎢-4 + 4⋅ⅈ⎥
⎢        ⎥
⎣   5    ⎦

(-1 - 3⋅ⅈ)⋅(-1 + 3⋅ⅈ) + (-2 - 3⋅ⅈ)⋅(-2 + 3⋅ⅈ) + 25 + (5 - 2⋅ⅈ)⋅(5 + 2⋅ⅈ) + (-4
 - 4⋅ⅈ)⋅(-4 + 4⋅ⅈ)

109

True


$