数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 複素数(和の共役複素数と共役複素数の和、積の共役複素数と共役複素数の積)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、6(複素数)、練習問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   2つの複素数を実部と虚部に分けて、それぞれ

   $\begin{array}{}\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=a+bi\\ \mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}=c+di\\ a,b,c,d\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$

   とおく。

   積について。

   $\begin{array}{}\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\\ =\stackrel{-}{\left(a+bi\right)\left(c+di\right)}\\ =\stackrel{-}{\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i}\\ =\left(ac-bd\right)-\left(ad+bc\right)i\\ \stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\\ =\stackrel{-}{\left(a+bi\right)}\stackrel{-}{\left(c+di\right)}\\ =\left(a-bi\right)\left(c-di\right)\\ =\left(ac-bd\right)-\left(ad+bc\right)i\end{array}$

   よって、 等号

   $\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}=\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}$

   が成り立つ。

   和について。

   $\begin{array}{}\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\\ =\stackrel{-}{\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)}\\ =\stackrel{-}{\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i}\\ =\left(a+c\right)-\left(b+d\right)i\\ \stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}+\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}\\ =\stackrel{-}{\left(a+bi\right)}+\stackrel{-}{\left(c+di\right)}\\ =a-bi+c-di\\ =\left(a+c\right)-\left(b+d\right)i\end{array}$

   よって、 等号

   $\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}=\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}+\stackrel{-}{\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}}$

   が成り立つ。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols

print('4.')

a, b = symbols('a, b')

for b in [(a * b).conjugate() == a.conjugate() * b.conjugate(),
          (a + b).conjugate() == a.conjugate() + b.conjugate()]:
    pprint(b)

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
True
True
$