数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 定義(有理数、無理数、体、加法と乗法(和と積)、単位元と逆元)

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題7.を取り組んでみる。

任意の有理数

$a, b, c, d \in ℚ$

に対して、

$\begin{array}{l} (a + b \sqrt{2}) + (c + d \sqrt{2}) \\ = (a + c) + (b + d) \sqrt{2} \\ a + c, b + d \in ℚ \end{array}$

よって、和について閉じている。

また、

$\begin{array}{l} (a + b \sqrt{2}) (c + d \sqrt{2}) \\ = (a c + 2 b d) + (a d + b c) \sqrt{2} \\ a c + 2 b d, a d + b c \in ℚ \end{array}$

よって、積について閉じている。

$\begin{array}{l} - (a + b \sqrt{2}) \\ = - a - b \sqrt{2} \\ - a, - b \in ℚ \end{array}$

よって、和の逆元は K に含まれる。

$\begin{array}{l} \frac{1}{a + b \sqrt{2}} \\ = \frac{a - b \sqrt{2}}{a^{2} - 2 b^{2}} \\ = \frac{a}{a^{2} - 2 b^{2}} + \frac{- b}{a^{2} - 2 b^{2}} \sqrt{2} \\ \frac{a}{a^{2} - 2 b^{2}}, \frac{- b}{n^{2} - 2 b^{2}} \in ℚ \end{array}$

よって、積の逆元は K に含まれる。

$\begin{array}{l} 0 = 0 + 0 \sqrt{2} \\ 0 \in ℚ \end{array}$

よって零は K に含まれる。

$\begin{array}{l} 1 = 1 + 0 \sqrt{2} \\ 1, 0 \in ℚ \end{array}$

よって1は K に含まれる。

ゆえに、 K は体である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt

print('7.')

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', rational=True)
x = a + b * sqrt(2)
y = c + d * sqrt(2)

for t in [x, y, x + y, x * y, x ** -1, - x]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
7.
a + √2⋅b

c + √2⋅d

a + √2⋅b + c + √2⋅d

a⋅c + √2⋅a⋅d + √2⋅b⋅c + 2⋅b⋅d

   1    
────────
a + √2⋅b

-a - √2⋅b

$

Kamimura's blog

2018年12月18日火曜日

数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 定義(有理数、無理数、体、加法と乗法(和と積)、単位元と逆元)

0 コメント:

コメントを投稿