数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 基底(実数値関数のなすベクトル空間、一次独立、微分、累乗関数、指数関数、三角関数(正弦と余弦)、倍角、加法定理)

ラング線形代数学(上)
原著
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題5.を取り組んでみる。

5. 
   
   1. 
      
      $a+bt=0$

      とする。

      両辺を微分すると、

      $b=0$

      よって、

      $a=0,b=0$

      となるので1次従属ではない。
      すなわち、問題の2つの関数は1次独立。

   2. 
      
      $\begin{array}{}at+b{t}^2=0\\ a+2bt=0\\ 2b=0\\ b=0\\ a=0\end{array}$

      よって1次独立。

   3. 
      
      $\begin{array}{}at+b{t}^4=0\\ a+4b{t}^3=0\\ 12b{t}^2=0\\ b=0\\ a=0\end{array}$

      よって1次独立。

   4. 
      
      $\begin{array}{}a{e}^t+bt=0\\ a{e}^t+b=0\\ a{e}^t=0\\ a=0\\ b=0\end{array}$

      よって1次独立。

   5. 
      
      $\begin{array}{}at{e}^t+b{e}^{2t}=0\\ a{e}^t+at{e}^t+2b{e}^{2t}=0\\ a{e}^t+b{e}^{2t}=0\\ a{e}^t+2b{e}^{2t}=0\\ b{e}^{2t}=0\\ b=0\\ a=0\end{array}$

      よって1次独立。

   6. 
      
      $\begin{array}{}a\left(\sin t\right)+b\cos t=0\\ a\left(\cos t\right)-b\sin t=0\\ a\left(\sin t\right)=-b\cos t\\ a\left(\cos t\right)=b\sin t\\ a^2{\sin }^{2}t=b^2{\cos }^{2}t\\ a^2{\cos }^{2}t=b^2{\sin }^{2}t\\ a^2=b^2\\ b=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->a\\ b=a\\ a\left(\sin t\right)+a\left(\cos t\right)=0\\ a\left(\cos t\right)-a\left(\sin t\right)=0\\ 2a\left(\cos t\right)=0\\ a=0\\ b=0\\ b=-a\\ a\left(\sin t\right)-a\left(\cos t\right)=0\\ a\left(\cos t\right)+a\left(\sin t\right)=0\\ 2a\left(\sin t\right)=0\\ a=0\\ b=0\end{array}$

      よって1次独立。

   7. 
      
      $\begin{array}{}at+b\sin t=0\\ a+b\cos t=0\\ -b\sin t=0\\ b=0\\ at=0\\ a=0\end{array}$

      よって1次独立。

      $\begin{array}{}a\left(\sin t\right)+b\sin \left(2t\right)=0\\ a\left(\cos t\right)+2b\cos \left(2t\right)=0\\ -a\left(\sin t\right)-4b\sin \left(2t\right)=0\\ -3b\sin \left(2t\right)=0\\ b=0\\ a\left(\sin t\right)=0\\ a=0\end{array}$

      よって1次独立。

   8. 
      
      $\begin{array}{}a\left(\cos t\right)+b\cos \left(3t\right)=0\\ -a\left(\sin t\right)-3b\sin \left(3t\right)=0\\ -a\left(\cos t\right)-3b\cos \left(3t\right)=0\\ -2b\cos \left(3t\right)=0\\ b=0\\ a\left(\cos t\right)=0\\ a=0\end{array}$

      よって、1次独立。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, exp, sin, cos

print('5.')

t, a, b = symbols('t, a, b', real=True)
eq = [a + b * t,
      a * t + b * t ** 2,
      a * t + b * t ** 4,
      a * exp(t) + b * t,
      a * t * exp(t) * b * exp(2 * t),
      a * sin(t) + b * cos(t),
      a * t + b * sin(t),
      a * sin(t) + b * sin(2 * t),
      a * cos(t) + b * cos(3 * t)]

for i, eq in enumerate(eq):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(solve(eq, a, b, dict=True))
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
5.
(a)
[{a: 0, b: 0}]

(b)
[{a: 0, b: 0}]

(c)
[{a: 0, b: 0}]

(d)
⎡⎧         -t⎫⎤
⎢⎨a: -b⋅t⋅ℯ  ⎬⎥
⎣⎩           ⎭⎦

(e)
[{a: 0}, {b: 0}]

(f)
⎡⎧    -b   ⎫⎤
⎢⎨a: ──────⎬⎥
⎣⎩   tan(t)⎭⎦

(g)
⎡⎧   -b⋅sin(t) ⎫⎤
⎢⎨a: ──────────⎬⎥
⎣⎩       t     ⎭⎦

(h)
[{a: -2⋅b⋅cos(t)}]

(i)
⎡⎧   -b⋅cos(3⋅t) ⎫⎤
⎢⎨a: ────────────⎬⎥
⎣⎩      cos(t)   ⎭⎦

$