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2018年12月21日金曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題8.を取り組んでみる。


  1. 任意の有理数

    a,b,c,d

    に対して、

    (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)ia+c,b+d(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)iac-bd,ad+bc

    よって、加法、乗法について閉じている。

    -(a+bi)=-a-bi-a,-ba+bi01a+bi=a+bia2-b2=aa2-b2+ba2-b2iaa2-b2,ba2-b2

    よって、加法、乗法の逆元を含む。

    0=0+0i01=1+0i1,0

    よって、加法、手法の単位元を含む。

    ゆえに体である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I

print('8.')

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', rational=True)
x = a + b * I
y = c + d * I

for t in [x, y, x + y, x * y, x ** -1, - x,
          1 / (1 + 2 * I) * (1 - 2 * I) / (1 - 2 * I)]:
    for s in [t.expand(), t.as_real_imag()]:
        pprint(t)
        print()
    for s in t.as_real_imag():
        print(s.is_rational)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample8.py
8.
a + ⅈ⋅b

a + ⅈ⋅b

True

True


c + ⅈ⋅d

c + ⅈ⋅d

True

True


a + ⅈ⋅b + c + ⅈ⋅d

a + ⅈ⋅b + c + ⅈ⋅d

True

True


(a + ⅈ⋅b)⋅(c + ⅈ⋅d)

(a + ⅈ⋅b)⋅(c + ⅈ⋅d)

True

True


   1   
───────
a + ⅈ⋅b

   1   
───────
a + ⅈ⋅b

None

None


-a - ⅈ⋅b

-a - ⅈ⋅b

True

True


         2          
(1 - 2⋅ⅈ) ⋅(1 + 2⋅ⅈ)
────────────────────
         25         

         2          
(1 - 2⋅ⅈ) ⋅(1 + 2⋅ⅈ)
────────────────────
         25         

True

True


$

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