学習環境
- Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.2(変数変換定理)、問題3-(c).を取り組んでみる。
s=xat=ybu=zcとおく。
ヤコビ行列式の値を求める。
∂(x,y,z)∂(s,t,u)=|∂x∂s∂x∂t∂x∂u∂yos∂y∂t∂y∂u∂z∂s∂z∂t∂z∂u|=|a000b000c|=abcよって、変数変換の定理より、
∭x2a2+y2b2+z2c2≤1(x2+y2+z2)dxdydz=∭s2+t2+u2≤1(a2s2+b2t2+c2u2)abcdsdtdu=abc∭s2+t2+u2≤1(a2s2+b2t2+c2u2)dsdtduまた、対称性により、
∭(a2s2+b2t2+c2u2)dsdtdu=∭(b2s2+c2t2+a2u2)dsdtdu=∭(c2s2+a2t2+b2u2)dsdtduが成り立つので、
∭(a2s2+b2t2+c2u2)dsdtdu=13(a2+b2+c2)∭(s2+t2+u2)dsdtduよって、
abc∭s2+t2+u2≤1(a2s2+b2t2+c2u2)dsdtdu=13abc(a2+b2+c2)∭s2+t2+u2≤1(s2+t2+u2)dsdtdus、 t、 u を空間極座標に変換する。
s=rsinθcosφt=rsinθsinφu=rcosθ0≤r≤10≤θ≤π0≤φ≤2πヤコビ行列式の値を求める。
∂(s,t,u)∂(r,θ,φ)=|sinθcosφrcosθcosφ-rsinθsinφsinθsinφrcosθsinφrsinθcosφcosθ-rsinθ0|=r2sinθ|sinθcosφcosθcosφ-sinφsinθsinφcosθsinφcosφcosθ-sinθ0|行列式について、
cos2θcos2φ+sin2θsin2φ+sin2θcos2φ+cos2θsin2φ=cos2θ(cos2φ+sin2φ)+sin2θ(sin2φ+cos2φ)=cos2θ+sin2θ=1よって、ヤコビ行列式の値は、
r2sinθよって、求める積分の値は、
13abc(a2+b2+c2)1∫0π∫02π∫0(r2sin2θcos2φ+r2sin2θsin2φ+r2cos2θ)r2sinθdφdθdr=13abc(a2+b2+c2)1∫0π∫02π∫0r2r2sinθdφdθdr=13abc(a2+b2+c2)∫10r4drπ∫0sinθdθ2π∫01dφ=13abc(a2+b2+c2)15·2·2π=4π15abc(a2+b2+c2)
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, sin, cos, Rational print('3-(c).') r, theta, phi, a, b, c = symbols('r, theta, phi, a, b, c') I = Rational(1, 3) * a * b * c * (a ** 2 + b ** 2 + c ** 2) * \ Integral( Integral( Integral( (r ** 2 * sin(theta) ** 2 * cos(phi) ** 2 + r ** 2 * sin(theta) ** 2 * sin(phi) ** 2 + r ** 2 * cos(theta) ** 2) * r ** 2 * sin(theta), (phi, 0, 2 * pi)), (theta, 0, pi)), (r, 0, 1)) for t in [I, I.doit()]: pprint(t) print()
入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))
$ ./sample3.py 3-(c). 1 π 2⋅π ⌠ ⌠ ⌠ ⎛ 2 2 2⎞ ⎮ ⎮ ⎮ 2 ⎛ 2 2 2 2 2 2 2 a⋅b⋅c⋅⎝a + b + c ⎠⋅⎮ ⎮ ⎮ r ⋅⎝r ⋅sin (φ)⋅sin (θ) + r ⋅sin (θ)⋅cos (φ) + r ⋅ ⌡ ⌡ ⌡ 0 0 0 ────────────────────────────────────────────────────────────────────────────── 3 2 ⎞ cos (θ)⎠⋅sin(θ) dφ dθ dr ──────────────────────── ⎛ 2 2 2⎞ 4⋅π⋅a⋅b⋅c⋅⎝a + b + c ⎠ ──────────────────────── 15 $
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