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2018年12月8日土曜日

学習環境

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.2(変数変換定理)、問題3-(c).を取り組んでみる。



    1. s=xat=ybu=zc

      とおく。

      ヤコビ行列式の値を求める。

      (x,y,z)(s,t,u)=|xsxtxuyosytyuzsztzu|=|a000b000c|=abc

      よって、変数変換の定理より、

      x2a2+y2b2+z2c21(x2+y2+z2)dxdydz=s2+t2+u21(a2s2+b2t2+c2u2)abcdsdtdu=abcs2+t2+u21(a2s2+b2t2+c2u2)dsdtdu

      また、対称性により、

      (a2s2+b2t2+c2u2)dsdtdu=(b2s2+c2t2+a2u2)dsdtdu=(c2s2+a2t2+b2u2)dsdtdu

      が成り立つので、

      (a2s2+b2t2+c2u2)dsdtdu=13(a2+b2+c2)(s2+t2+u2)dsdtdu

      よって、

      abcs2+t2+u21(a2s2+b2t2+c2u2)dsdtdu=13abc(a2+b2+c2)s2+t2+u21(s2+t2+u2)dsdtdu

      s、 t、 u を空間極座標に変換する。

      s=rsinθcosφt=rsinθsinφu=rcosθ0r10θπ0φ2π

      ヤコビ行列式の値を求める。

      (s,t,u)(r,θ,φ)=|sinθcosφrcosθcosφ-rsinθsinφsinθsinφrcosθsinφrsinθcosφcosθ-rsinθ0|=r2sinθ|sinθcosφcosθcosφ-sinφsinθsinφcosθsinφcosφcosθ-sinθ0|

      行列式について、

      cos2θcos2φ+sin2θsin2φ+sin2θcos2φ+cos2θsin2φ=cos2θ(cos2φ+sin2φ)+sin2θ(sin2φ+cos2φ)=cos2θ+sin2θ=1

      よって、ヤコビ行列式の値は、

      r2sinθ

      よって、求める積分の値は、

      13abc(a2+b2+c2)10π02π0(r2sin2θcos2φ+r2sin2θsin2φ+r2cos2θ)r2sinθdφdθdr=13abc(a2+b2+c2)10π02π0r2r2sinθdφdθdr=13abc(a2+b2+c2)10r4drπ0sinθdθ2π01dφ=13abc(a2+b2+c2)15·2·2π=4π15abc(a2+b2+c2)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, sin, cos, Rational

print('3-(c).')

r, theta, phi, a, b, c = symbols('r, theta, phi, a, b, c')

I = Rational(1, 3) * a * b * c * (a ** 2 + b ** 2 + c ** 2) * \
    Integral(
        Integral(
            Integral(
                (r ** 2 * sin(theta) ** 2 * cos(phi) ** 2 +
                 r ** 2 * sin(theta) ** 2 * sin(phi) ** 2 +
                 r ** 2 * cos(theta) ** 2) *
                r ** 2 * sin(theta),
                (phi, 0, 2 * pi)),
            (theta, 0, pi)),
        (r, 0, 1))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3-(c).
                     1 π 2⋅π                                                  
                     ⌠ ⌠  ⌠                                                   
      ⎛ 2    2    2⎞ ⎮ ⎮  ⎮   2 ⎛ 2    2       2       2    2       2       2 
a⋅b⋅c⋅⎝a  + b  + c ⎠⋅⎮ ⎮  ⎮  r ⋅⎝r ⋅sin (φ)⋅sin (θ) + r ⋅sin (θ)⋅cos (φ) + r ⋅
                     ⌡ ⌡  ⌡                                                   
                     0 0  0                                                   
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                  3                           

                        
                        
   2   ⎞                
cos (θ)⎠⋅sin(θ) dφ dθ dr
                        
                        
────────────────────────
                        

          ⎛ 2    2    2⎞
4⋅π⋅a⋅b⋅c⋅⎝a  + b  + c ⎠
────────────────────────
           15           

$

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