数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(パラメーター表示、三角関数(正弦と余弦)、累乗(べき乗、平方)、平方根、加法定理、半角)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題12の解答を求めてみる。

12. 
    
    $\begin{array}{}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{{\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(1-\cos t\right)\right)}^2+{\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(t-\sin t\right)\right)}^2}\mathrm{dt}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{{\sin }^{2}t+{\left(1-\cos t\right)}^2}\mathrm{dt}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{{\sin }^{2}t+1-2\cos t+{\cos }^{2}t}\mathrm{dt}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{2-2\cos t}\mathrm{dt}\\ =\sqrt{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{1-\cos t}\mathrm{dt}\\ =\sqrt{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2tv}\sqrt{1-\cos \left(\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\right)}\mathrm{dt}\\ =\sqrt{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{1-\left({\cos }^2\frac{t}{2}-{\sin }^2\frac{t}{2}\right)}\mathrm{dt}\\ =\sqrt{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{1-\left(\left(1-{\sin }^2\frac{t}{2}\right)-{\sin }^2\frac{t}{2}\right)}\mathrm{dt}\\ =\sqrt{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{2{\sin }^2\frac{t}{2}}\mathrm{dt}\\ =2{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sqrt{{\sin }^2\frac{t}{2}}\mathrm{dt}\\ =2{\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\sin \frac{t}{2}\mathrm{dt}\\ =2{\left[-2\cos \frac{t}{2}\right]}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\\ =-4\left(\cos \mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}-\cos 0\right)\\ =-4\left(-1-1\right)\\ =8\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, cos, sin
from sympy import pi
from sympy.plotting import plot_parametric
t = symbols('t')

x = 1 - cos(t)
y = t - sin(t)

I = Integral(sqrt(Derivative(x, t, 1) ** 2 +
                  Derivative(y, t, 1) ** 2), (t, 0, 2 * pi))

for o in [I, I.doit(), I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

I = 2 * Integral(sqrt(sin(t / 2) ** 2), (t, 0, 2 * pi))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot_parametric((x, y, (t, -2 * pi, 0)),
                    (x, y, (t, 0, 2 * pi)),
                    (x, y, (t, 2 * pi, 4 * pi)),
                    show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample12.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ python3 sample12.py
2⋅π                                                 
 ⌠                                                  
 ⎮       ________________________________________   
 ⎮      ╱                 2                    2    
 ⎮     ╱  ⎛d             ⎞    ⎛d              ⎞     
 ⎮    ╱   ⎜──(t - sin(t))⎟  + ⎜──(-cos(t) + 1)⎟   dt
 ⎮  ╲╱    ⎝dt            ⎠    ⎝dt             ⎠     
 ⌡                                                  
 0                                                  

2⋅π                     
 ⌠                      
 ⎮    _______________   
 ⎮  ╲╱ -2⋅cos(t) + 2  dt
 ⌡                      
 0                      

2⋅π                     
 ⌠                      
 ⎮    _______________   
 ⎮  ╲╱ -2⋅cos(t) + 2  dt
 ⌡                      
 0                      

  2⋅π                 
   ⌠                  
   ⎮      _________   
   ⎮     ╱    2⎛t⎞    
2⋅ ⎮    ╱  sin ⎜─⎟  dt
   ⎮  ╲╱       ⎝2⎠    
   ⌡                  
   0                  

8

$