数学 – Python - 数学はここから始まる - 数 – 等式の証明 – 整式の恒等式(分数式、分母をはらう、代入、整式一致の定理)

数学読本〈1〉
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、整式の恒等式の問44の解答を求めてみる。

44. 
    
    $\begin{array}{}{x}^2\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\\ =-a^2\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(b-c\right)-b^2\left(x-a\right)\left(x-c\right)\left(c-a\right)-c^2\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(a-b\right)\end{array}$

    x に a を代入。

    左辺。

    $a^2\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)$

    右辺。

    $a^2\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)$

    よって、 左辺と右辺は等しい。

    同様に、 X が b、 c のときも等式は成り立つ。

    また、両辺は x の2次式である。

    このことから、 3つの 異なる a、 b、 c で成り立つので、 問題の等式は恒等式である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('44.')

a, b, c, d, x = symbols('a, b, c, d, x')

left = x ** 2 / ((x - a) * (x - b) * (x - c))
right = a ** 2 / ((a - b) * (a - c) * (x - a)) + \
    b ** 2 / ((b - c) * (b - a) * (x - b)) + \
    c ** 2 / ((c - a) * (c - b) * (x - c))

for x0 in range(-5, 6):
    print(f'x = {x0}: {(left - right).subs({x: x0}).simplify() == 0}')

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample44.py
44.
x = -5: True
x = -4: True
x = -3: True
x = -2: True
x = -1: True
x = 0: True
x = 1: True
x = 2: True
x = 3: True
x = 4: True
x = 5: True
$