数学 - 線形代数学 - 行列 – 1次方程式(連立1次同次方程式の解の集合、ベクトル空間)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(1次方程式)、練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{}x=\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n\right)\\ y=\left(y_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,y_n\right)\\ z=\left(z_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,z_a\right)\end{array}$

   を連立1次同次方程式の解とする。

   $\begin{array}{}\left(x_1+y_1\right)A^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(x_n+y_n\right)A^n\\ =x_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{A}^n+y_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+y_n{A}^n\\ =O+O\\ =O\\ a\in \; <!--\; element\; of\; -->K\\ a{x}_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a{x}_n{A}^n\\ =a\left(x_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{A}^n\right)\\ =aO\\ =O\end{array}$

   よって、和とスカラー倍について閉じている。

   $\begin{array}{}\left(x+y\right)+z\\ =\left(x_1+y_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n+y_n\right)+z\\ =\left(x_1+y_1+z_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n+y_n+z_n\right)\\ =x+\left(y_1+z_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,y_n+z_n\right)\\ =x+\left(y+z\right)\end{array}$

   よって、和の結合律は成り立つ。

   $\begin{array}{}x+y\\ =\left(x_1+y_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n+y_n\right)\\ =\left(y_1+x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,y_n+x_n\right)\\ =y+x\end{array}$

   よって和は可換である。

   $0A^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+0A^n=O$

   よって、

   $\left(0,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,0\right)$

   は解集合の元で、これを O とおけば、

   $\begin{array}{}O+x=x\\ x+O=x\end{array}$

   和の逆元について。

   $\begin{array}{}\left(-x_1\right)A^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(-x_n\right)A^n\\ =-\left(x_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{A}^n\right)\\ =O\end{array}$

   よって、

   $-x$

   は解の集合の元で、

   $x+\left(-x\right)=\left(-x\right)+x=O$

   a、 b を任意の体 K の元とする

   $\begin{array}{}a\left(x+y\right)\\ =\left(a\left(x_1+y_1\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a\left(x_n+y_n\right)\right)\\ =\left(a{x}_1+a{y}_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a{x}_n+a{y}_n\right)\\ =\left(a{x}_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a{x}_n\right)+\left(a{y}_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a{y}_n\right)\\ =ax+ay\\ \left(a+b\right)x\\ =\left(\left(a+b\right)x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left(a+b\right)x_n\right)\\ =\left(a{x}_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a{x}_n\right)+\left(b{x}_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,b{x}_n\right)\\ =ax+bx\\ \left(ab\right)x\\ =\left(\left(ab\right)x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left(ab\right)x_n\right)\\ =a\left(b{x}_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,b{x}_n\right)\\ =a\left(bx\right)\\ 1x\\ =\left(x_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n\right)\\ =x\end{array}$

   よって、体 K における n 未知数の連立1次同次方程式の解の集合は K の上のベクトル空間をなす。