数学 - 大小関係を見る - 不等式 – 不等式の基本性質 – 不等式の基本性質(和、積、逆数、正の数、公理と他の諸性質の導出)

数学読本〈1〉
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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係を見る - 不等式)、4.1(不等式の基本性質)、不等式の基本性質の問2の解答を求めてみる。

2. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}\left(a+c\right)-\left(b+d\right)\\ =\left(a-b\right)+\left(c-d\right)\end{array}$

      仮定と6より、

      $\begin{array}{}a>b,c>d\\ a-b>0,c-d>0\end{array}$

      よって、9より

      $\begin{array}{}\left(a-b\right)+\left(c-d\right)>0\\ \left(a+c\right)-\left(b+d\right)>0\end{array}$

      よって移項の法則より、

      $a+c>b+d$

      （証明終）

   2. 
      

      4より、

      $\begin{array}{}ac>bc>0\\ bc>bd>0\end{array}$

      2より、

      $ac>bd$
   3. 
      

      15より、

      $\frac{1}{a}>0,\frac{1}{b}>0$

      4より、

      $\begin{array}{}a·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{a}>b·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{a}\\ 1>\frac{b}{a}\\ 1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{b}>\frac{b}{a}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{b}\\ \frac{1}{b}>\frac{1}{a}\\ \frac{1}{a}<\frac{1}{b}\end{array}$