学習環境
- Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題2の解答を求めてみる。
∫√1+(ddxlogx)2dx=∫√1+1x2dx=∫√x2+1xdxt=√x2+1dtdx=12·2x·1√x2+1=x√x2+1∫tx·√x2+1xdt=∫t2x2dt=∫t2t2-1dt=∫t2-1+1t2-1dt=∫(1+1t2-1)dt=t+∫1t2-1dtat+1+bt-1=(a+b)t+(-a+b)t2-1a+b=0-a+b=12b=1b=12a=-12∫1t2-1dt=12∫(1t-1-1t+1)dt=12(log(t-1)-log(t+1))x=12,t=√52x=2,t=√5よって求める曲線、対数関数の指示された区間における長さは、
[t]√5√52+12[logt-1t+1]√5√52=√5-√52+12(log√5-1√5+1-log√5-2√5+2)=√52+12log(√5-1√5+1·√5+2√5-2)=√52+12log3+√53-√5=√52+12log(3+√5)24=√52+log3+√52
コード
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, Rational from sympy import log x = symbols('x') f = log(x) I = Integral(sqrt(1 + Derivative(f, x, 1) ** 2), (x, Rational(1, 2), 2)) for t in [I, I.doit()]: pprint(t.simplify()) print() p = plot((f, (x, 0.1, Rational(1, 2))), (f, (x, Rational(1, 2), 2)), (f, (x, 2, 3)), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue'] for i, color in enumerate(colors): p[i].line_color = color p.save('sample2.png') for t in [I.doit(), sqrt(5) / 2 + log((3 + sqrt(5)) / 2)]: print(float(t))
入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))
$ python3 sample1.py 1. 4 ⌠ ⎮ _________________ ⎮ ╱ 2 ⎮ ╱ ⎛d ⎛ 3/2⎞⎞ ⎮ ╱ ⎜──⎝x ⎠⎟ + 1 dx ⎮ ╲╱ ⎝dx ⎠ ⌡ 0 8 80⋅√10 - ── + ────── 27 27 $
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