数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(対数関数、置換積分法、部分分す分解、微分、平方根)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
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• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{}\int \; <!--\; integral\; -->\sqrt{1+{\left(\frac{d}{\mathrm{dx}}\log x\right)}^2}\mathrm{dx}\\ =\int \; <!--\; integral\; -->\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\mathrm{dx}\\ =\int \; <!--\; integral\; -->\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\mathrm{dx}\\ t=\sqrt{x^2+1}\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2x·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\ =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\ \int \; <!--\; integral\; -->\frac{t}{x}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\mathrm{dt}\\ =\int \; <!--\; integral\; -->\frac{t^2}{x^2}\mathrm{dt}\\ =\int \; <!--\; integral\; -->\frac{t^2}{t^2-1}\mathrm{dt}\\ =\int \; <!--\; integral\; -->\frac{t^2-1+1}{t^2-1}\mathrm{dt}\\ =\int \; <!--\; integral\; -->\left(1+\frac{1}{t^2-1}\right)\mathrm{dt}\\ =t+\int \; <!--\; integral\; -->\frac{1}{t^2-1}\mathrm{dt}\\ \frac{a}{t+1}+\frac{b}{t-1}\\ =\frac{\left(a+b\right)t+\left(-a+b\right)}{t^2-1}\\ a+b=0\\ -a+b=1\\ 2b=1\\ b=\frac{1}{2}\\ a=-\frac{1}{2}\\ \int \; <!--\; integral\; -->\frac{1}{t^2-1}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}\int \; <!--\; integral\; -->\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}\left(\log \left(t-1\right)-\log \left(t+1\right)\right)\\ x=\frac{1}{2},t=\frac{\sqrt{5}}{2}\\ x=2,t=\sqrt{5}\end{array}$

   よって求める曲線、対数関数の指示された区間における長さは、

   $\begin{array}{}{\left[t\right]}_{\frac{\sqrt{5}}{2}}^{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}{\left[\log \frac{t-1}{t+1}\right]}_{\frac{\sqrt{5}}{2}}^{\sqrt{5}}\\ =\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}\left(\log \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}-\log \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}\right)\\ =\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}\log \left(\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\right)\\ =\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}\log \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}\\ =\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}\log \frac{{\left(3+\sqrt{5}\right)}^2}{4}\\ =\frac{\sqrt{5}}{2}+\log \frac{3+\sqrt{5}}{2}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, Rational
from sympy import log

x = symbols('x')

f = log(x)
I = Integral(sqrt(1 + Derivative(f, x, 1) ** 2), (x, Rational(1, 2), 2))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t.simplify())
    print()

p = plot((f, (x, 0.1, Rational(1, 2))),
         (f, (x, Rational(1, 2), 2)),
         (f, (x, 2, 3)),
         legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample2.png')

for t in [I.doit(), sqrt(5) / 2 + log((3 + sqrt(5)) / 2)]:
    print(float(t))

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ python3 sample1.py
1.
4                          
⌠                          
⎮      _________________   
⎮     ╱           2        
⎮    ╱  ⎛d ⎛ 3/2⎞⎞         
⎮   ╱   ⎜──⎝x   ⎠⎟  + 1  dx
⎮ ╲╱    ⎝dx      ⎠         
⌡                          
0                          

  8    80⋅√10
- ── + ──────
  27     27  

$