数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(三角関数(正弦)、半角、累乗(べき乗、平方)、極座標表示)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題20の解答を求めてみる。

20. 
    
    $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\left({\sin }^2\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)\right)}^2+{\left(\frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{\sin }^2\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\sin }^4\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)+{\left(2\sin \left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)\cos \left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\sin }^4\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right){\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sin \left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)\sqrt{{\sin }^2\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)+{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sin \left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =2{\left[-\cos \left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{2}\right)\right]}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\\ =2\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, sqrt, cos, sin, pi
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = sin(theta / 2) ** 2
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(sqrt(r ** 2 + Derivative(r, theta, 1) ** 2),
             (theta, 0, pi))

# for o in [I, I.doit()]:
#     pprint(o.simplify())
#     print()

I = Integral(sin(theta / 2), (theta, 0, pi))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

p = plot_parametric((x, y, (theta, 0, pi)),
                    (x, y, (theta, pi, 2 * pi)),
                    show=False)

colors = ['red', 'green']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample20.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample20.py
π          
⌠          
⎮    ⎛θ⎞   
⎮ sin⎜─⎟ dθ
⎮    ⎝2⎠   
⌡          
0          

2

$