数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(三角関数(正弦と余弦)、極座標表示、微分)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題16の解答を求めてみる。

16. 
    
    $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\left(3\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2+{\left(\frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\left(3\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ \underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{3^2{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+{\left(-3\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =3\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =3\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}1d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =3{\left[\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right]}_0^{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}}\\ =\frac{3}{4}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, cos, sin
from sympy import pi
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = 3 * cos(theta)
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(sqrt(r ** 2 + Derivative(r, theta, 1) ** 2), (theta, 0, pi / 4))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

p = plot_parametric((x, y, (theta, -pi / 2, 0)),
                    (x, y, (theta, 0, pi / 4)),
                    (x, y, (theta, pi / 4, pi / 2)),
                    show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample16.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample16.py
π                                      
─                                      
4                                      
⌠                                      
⎮      _____________________________   
⎮     ╱                           2    
⎮    ╱       2      ⎛d           ⎞     
⎮   ╱   9⋅cos (θ) + ⎜──(3⋅cos(θ))⎟   dθ
⎮ ╲╱                ⎝dθ          ⎠     
⌡                                      
0                                      

3⋅π
───
 4 

$