数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(累乗(べき乗、平方)、放物線、微分、対数関数、平方根)

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題4の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{d}{dx} (x \sqrt{4 x^{2} + 1}) \\ = \sqrt{4 x^{2} + 1} + \frac{4 x^{2}}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} \\ \frac{d}{dx} \log \sqrt{4 x^{2} + 1} \\ = \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} \cdot \frac{4 x}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} \\ \frac{d}{dx} \log (2 x + \sqrt{4 x^{2} + 1}) \\ = \frac{1}{2 x + \sqrt{4 x^{2} + 1}} (2 + \frac{4 x}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}) \\ = \frac{1}{2 x + \sqrt{4 x^{2} + 1}} \cdot \frac{2 (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x)}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} \\ = \frac{2}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} \\ \frac{1}{2} \frac{d}{dx} (x \sqrt{4 x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \log (2 x + \sqrt{4 x^{2} + 1})) \\ = \frac{1}{2} (\sqrt{4 x^{2} + 1} + \frac{4 x^{2}}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}) \\ = \frac{1}{2} (\sqrt{4 x^{2} + 1} + \frac{4 x^{2} + 1}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}) \\ = \frac{1}{2} (\sqrt{4 x^{2} + 1} + \sqrt{4 x^{2} + 1}) \\ = \sqrt{4 x^{2} + 1} \end{array}$

よって、求める曲線の指示された区間における長さは、

$\begin{array}{l} \int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + {(\frac{d}{dx} (4 - x^{2}))}^{2}} dx \\ = 2 \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} dx \\ = 2 \cdot \frac{1}{2} {[x \sqrt{4 x^{2} + 1} + \frac{1}{2} \log (2 x + \sqrt{4 x^{2} + 1})]}_{0}^{2} \\ = 2 \sqrt{17} + \frac{1}{2} \log (4 + \sqrt{17}) \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, Rational
from sympy import log

x = symbols('x')

f = 4 - x ** 2
I = Integral(sqrt(1 + Derivative(f, x, 1) ** 2), (x, -2, 2))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t.simplify())
    print()

p = plot((f, (x, -5, -2)),
         (f, (x, -2, 2)),
         (f, (x, 2, 5)),
         legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample4.png')

for t in [I.doit(), 2 * sqrt(17) + log(4 + sqrt(17)) / 2]:
    print(float(t))

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
2                               
⌠                               
⎮       _____________________   
⎮      ╱               2        
⎮     ╱  ⎛d ⎛   2    ⎞⎞         
⎮    ╱   ⎜──⎝- x  + 4⎠⎟  + 1  dx
⎮  ╲╱    ⎝dx          ⎠         
⌡                               
-2                              

asinh(4)        
──────── + 2⋅√17
   2            

9.293567524865871
9.293567524865871
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2019年1月15日火曜日

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