数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 1次方程式(列ベクトル、1次独立、実数体、複素数体)

ラング線形代数学(上)
原著
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学習環境

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• 参考書籍
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(1次方程式)、練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $\begin{array}{}\left(a_1+b_{1}i\right)A^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(a_n+b_{n}i\right)A^n=0\\ a_k,b_k\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\\ \left(k=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)\end{array}$

   とする。

   このとき、

   $\begin{array}{}\left(a_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{A}^n\right)+i\left(b_1{A}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+b_n{A}^n\right)=O\\ a_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_n{A}^n=O\\ b_1{A}^1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+b_n{A}^n=O\end{array}$

   問題の仮定より、実数体上で1次独立なので、

   $\begin{array}{}{a}_k=0,b_k=0\\ \left(k=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)\end{array}$

   よって、

   $a_k+b_{k}i=0$

   ゆえに、複素数体の上で1次独立である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, Matrix
print('5.')

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', real=True)
e, f, g, h = symbols('e, f, g, h', imag=True)
A1 = Matrix([5, 0, 0, 0, 0])
A2 = Matrix([0, 1, 0, 0, 0])
A3 = Matrix([0, 0, 4, 0, 0])
A4 = Matrix([0, 0, 0, 2, 0])

pprint(solve((a * A1 + b * A2 + c * A3 + d * A4,
              e * A1 + f * A2 + g * A3 + h * A4),
             dict=True))

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample5.py
5.
[{a: 0, b: 0, c: 0, d: 0, e: 0, f: 0, g: 0, h: 0}]
$