数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 1次方程式(連立方程式、同次方程式、実数、複素数、自明ではない解)

ラング線形代数学(上)
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(1次方程式)、練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   

   複素数における自明ではない解を、

   $\begin{array}{}{x}_1=c_1+d_{1}i\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ x_n=c_n+d_{n}i\\ x_k=c_k+d_{k}i\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ c_k\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\vee \; <!--\; logical\; or\; -->d_k\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\end{array}$

   とする。

   $c_k\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   の場合、実部について考えると、

   $c_1\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ a_{m1}\end{array}\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+c_k{\left(\begin{array}{c}{a}_{1k}\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ a_m\end{array}\right)}_k+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+c_n\left(\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ :\\ .\\ a_{mk}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ 0\end{array}\right)$

   よって、実数において自明ではない解を持つ。

   $d_k\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   の場合、虚部について考えれば同様に自明ではない解を持つ。

   ゆえに、問題の連立方程式、同次方程式が C において自明ではない解を持つならば、R においても自明ではない解を持つ。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, Matrix
print('5.')

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', real=True)
e, f, g, h = symbols('e, f, g, h', imag=True)
A1 = Matrix([5, 0, 0, 0, 0])
A2 = Matrix([1, 0, 0, 0, 0])
A3 = Matrix([0, 0, 4, 0, 0])
A4 = Matrix([0, 0, 0, 2, 0])

pprint(solve((a * A1 + b * A2 + c * A3 + d * A4,
              e * A1 + f * A2 + g * A3 + h * A4),
             dict=True))

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample6.py
5.
⎡⎧   -b                  -f             ⎫⎤
⎢⎨a: ───, c: 0, d: 0, e: ───, g: 0, h: 0⎬⎥
⎣⎩    5                   5             ⎭⎦
$