数学 – Python - 数学はここから始まる - 数 – 等式の証明 – 比例式(連比、3つの場合、比例定数)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、比例式の問48の解答を求めてみる。

1. $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = k$
  
  とおく。
  
  $\begin{array}{l} a = k x \\ b = k y \\ c = k z \\ \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a b + b c + c a} \\ = \frac{k^{2} x^{2} + k^{2} y^{2} + k^{2} z^{2}}{k^{2} x y + k^{2} y z + k^{2} z x} \\ = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x y + y z + z x} \end{array}$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) : (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \\ = (a b + b c + c a) : (x y + y z + z x) \end{array}$
  
  が成り立つ。
  
  （証明終）
2. $\begin{array}{l} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \\ = (k^{2} x^{2} + k^{2} y^{2} + k z^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \\ = k^{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2} \\ {(a x + b y + c z)}^{2} \\ = {(k x^{2} + k y^{2} + k z^{2})}^{2} \\ = k^{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2} \end{array}$
  
  よって、左辺と右辺は等しい。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, Rational

print('48.')

x, y, z, k = symbols('x, y, z, k')

a = k * x
b = k * y
c = k * z
ts = [((a ** 2 + b ** 2 + c ** 2) / (a * b + b * c + c * a),
       (x ** 2 + y ** 2 + z ** 2) / (x * y + y * z + z * x)),
      ((a ** 2 + b ** 2 + c ** 2) * (x ** 2 + y ** 2 + z ** 2),
       (a * x + b * y + c * z) ** 2)]

for i, (l, r) in enumerate(ts, 1):
    print(f'({i})')
    print((l - r).simplify() == 0)

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ python3 sample48.py
48.
(1)
True
(2)
True
$

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2019年1月16日水曜日

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