学習環境
- Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、条件つきの等式の問45の解答を求めてみる。
c=-(a+b)a2-bc=a2+b(a+b)=a2+b2+abb2-ca=b2+(a+b)a=a2+b2+abc2-ab=a2+b2+2ab-ab=a2+b2+abよって、等式
a2-bc=b2-ca=c2-abは成り立つ。
- b2-(a+b)2a+(a+b)2-a2b+a2-b2-(a+b)=-a-2b+2a+b-(a-b)=0
- (a+b+c)3=a3+3a2(b+c)+3a(b+c)2+(b+c)3=a3+3a2(b+c)+3a(b+c)2+b3+3b2c+3bc2+c3=(a3+b3+c3)+(b+c)(3a2+3a(b+c)+3bc)=(a3+b3+c3)+3(b+c)(a2+ab+ac+bc)=(a3+b3+c3)+3(a+b)(b+c)(c+a)
よって、
a3+b3+c3=(a+b+c)2-3(a+b)(b+c)(c+a)=-3(-c)(-a)(-b)=3abc
コード
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, solve from sympy.plotting import plot3d print('45.') a, b, c = symbols('a, b, c') ts = [[(a ** 2 - b * c) - (b ** 2 - c * a), (b ** 2 - c * a) - (c ** 2 - a * b)], [(b ** 2 - c ** 2) / a - (c ** 2 - a ** 2) / b, (c ** 2 - a ** 2) / b - (a ** 2 - b ** 2) / c], [a ** 3 + b ** 3 + c ** 3 - 3 * a * b * c]] for i, t in enumerate(ts, 1): print(f'({i})') pprint(solve(*(t + [a + b + c]), a, b, c)) print()
入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))
$ ./sample45.py 45. (1) [{a: b}, {c: -a - b}] (2) ⎡ ⎧ _______________⎫ ⎧ _______________⎫⎤ ⎢ ⎪ ╱ 2 2 ⎪ ⎪ ╱ 2 2 ⎪⎥ ⎢ ⎨ b ╲╱ - 3⋅b + 4⋅c ⎬ ⎨ b ╲╱ - 3⋅b + 4⋅c ⎬⎥ ⎢{a: -b}, ⎪a: ─ - ──────────────────⎪, ⎪a: ─ + ──────────────────⎪⎥ ⎣ ⎩ 2 2 ⎭ ⎩ 2 2 ⎭⎦ (3) ⎡ ⎧ b √3⋅ⅈ⋅b c √3⋅ⅈ⋅c⎫ ⎧ b √3⋅ⅈ⋅b c √3⋅ⅈ⋅c⎫⎤ ⎢{a: -b - c}, ⎨a: ─ - ────── + ─ + ──────⎬, ⎨a: ─ + ────── + ─ - ──────⎬⎥ ⎣ ⎩ 2 2 2 2 ⎭ ⎩ 2 2 2 2 ⎭⎦ $
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