数学 – Python - 数学はここから始まる - 数 – 等式の証明 – 比例式(定数、証明)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、比例式の問46の解答を求めてみる。

1. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$
  
  とおく。
  
  $\begin{array}{l} a = b k, c = d k \\ \frac{p a + q c}{p b + q d} \\ = \frac{p b k + q d k}{p b + q d} \\ = \frac{(p b + q d) k}{p b + q d} \\ = k \end{array}$
  
  よって問題の比例式は成り立つ。
  
  （証明終）
2. 左辺について。
  
  $\begin{array}{l} \frac{{(a + b)}^{2}}{a b} \\ = \frac{{(b k + b)}^{2}}{b k b} \\ = \frac{{(k + 1)}^{2}}{k} \end{array}$
  
  右辺について。
  
  $\begin{array}{l} \frac{{(c + d)}^{2}}{c d} \\ = \frac{{(d k + d)}^{2}}{d k d} \\ = \frac{{(k + 1)}^{2}}{k} \end{array}$
3. $\begin{array}{l} \frac{{(b k)}^{2} + {(d k)}^{2}}{b k b + d k d} \\ = k \\ \frac{b k b + d k d}{b^{2} + d^{2}} \\ = k \end{array}$
4. $\begin{array}{l} \frac{{(b k - d k)}^{2}}{{(b - d)}^{2}} \\ = k^{2} \\ \frac{{(b k)}^{2} + {(d k)}^{2}}{b^{2} + d^{2}} \\ = k^{2} \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('46.')

a, b, c, d, k, p, q = symbols('a, b, c, d, k, p, q')

ts = [(k, (p * a + q * c) / (p * b + q * d)),
      ((a + b) ** 2 / (a * b), (c + d) ** 2 / (c * d)),
      ((a ** 2 + c ** 2) / (a * b + c * d),
       (a * b + c * d) / (b ** 2 + d ** 2)),
      ((a - c) ** 2 / (b - d) ** 2, (a ** 2 + c ** 2) / (b ** 2 + d ** 2))]

for i, (l, r) in enumerate(ts, 1):
    print(f'({i})')
    print((l - r).subs({a: b * k, c: d * k}).simplify() == 0)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample46.py
46.
(1)
True

(2)
True

(3)
True

(4)
True

$

Kamimura's blog

2019年1月13日日曜日

数学 – Python - 数学はここから始まる - 数 – 等式の証明 – 比例式(定数、証明)

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