数学 - ( @hyuki )結城浩さんのツイートより - 2つの数(実数の範囲)とサインカーブ

Pythonからはじめる数学入門
原著
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開発環境

• macOS Mojave - Apple (OS)
• Emacs (Text Editor)
• Windows 10 Pro (OS)
• Visual Studio Code (Text Editor)
• Python 3.7 (プログラミング言語)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

A「好きな数を二つ教えて」
B「17と22」
A「いい数を選んだね！」
B「なんで？」
A「だって、y = 17cos x + 22sin x という関数のグラフは、こんなに綺麗なサインカーブになるんだよ！」

…おやおや？ pic.twitter.com/ALUHTQguyo

— 結城浩 (@hyuki) 2019年1月19日

本当にいい数か？ってことでグラフを色々描いてみることに。その後、任意の2つの実数に対して綺麗なサインカーブになる理由についても。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, plot
import random

x = symbols('x')
fs = [random.randrange(-100, 101) * sin(x) +
      random.randrange(-100, 101) * cos(x)
      for _ in range(10)]

for f in fs:
    pprint(f)

p = plot(*fs, show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'brown',
          'pink', 'yellow', 'skyblue', 'purple', 'gray']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ python3 sample.py
49⋅sin(x) + 59⋅cos(x)
47⋅sin(x) - 64⋅cos(x)
-62⋅sin(x) + 43⋅cos(x)
-7⋅sin(x) - 72⋅cos(x)
-39⋅sin(x) - 96⋅cos(x)
-sin(x) + 85⋅cos(x)
30⋅sin(x) + 91⋅cos(x)
-6⋅sin(x) - 70⋅cos(x)
61⋅sin(x) + 32⋅cos(x)
-44⋅sin(x) - 95⋅cos(x)
$

好きな2つの数で試せるように用意。

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.01">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-20">
<label for="x2">x2 = </label>
 <input id="x2" type="number" value="20">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-20">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="20">
<br>
f(x) =
<input id="a0" type="number" step="1" value="-5">sin(x) +
<input id="b0" type="number" step="1" value="5">cos(x)

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_a0 = document.querySelector('#a0'),
    input_b0 = document.querySelector('#b0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
              input_a0, input_b0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n';

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        a0 = parseInt(input_a0.value),
        b0 = parseInt(input_a0.value),
        fns = [[x => a0 * Math.sin(x), 'red'],
               [x => b0 * Math.cos(x), 'green'],
               [x => a0 * Math.sin(x) + b0 * Math.cos(x), 'blue']];

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    
    
    let points = [],
        lines = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);
                console.log(x, y, a0, b0);
                points.push([x, y, color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
f(x) = sin(x) + cos(x)

ということで、整数(実数でも)なら綺麗なグラフになる。ということでどの数もいい数になるという。なので全て大吉のおみくじみたいな。(正月だし。そのおみくじがあったとして嬉しいか嬉しくないかは人それぞれ？！)

なぜサインカーブになるかについて。

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))

$\begin{array}{}f\left(x\right)\\ =a\left(\sin x\right)+b\left(\cos x\right)\\ =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)\end{array}$

ここで、

$\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

この角のイメージ図について。

とおけば、 加法定理より、

$\begin{array}{}f\left(x\right)\\ =\sqrt{a^2+b^2}\left(\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin x+\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos x\right)\\ =\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(x+\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\end{array}$

よって、任意の実数 a、 b に対して関数f はサインカーブになる。