数学 – Python - 数学はここから始まる - 数 – 等式の証明 – 恒等式(等式の証明、左辺と右辺の展開)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、恒等式の問41の解答を求めてみる。

1. 左辺を展開。
  
  $\begin{array}{l} (a^{2} + k b^{2}) (c^{2} + k d^{2}) \\ = a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} k + k b^{2} c^{2} + k^{2} b^{2} d^{2} \end{array}$
  
  右辺を展開する。
  
  $\begin{array}{l} {(a c + k b d)}^{2} + k {(a d - b c)}^{2} \\ = a^{2} c^{2} + 2 a b c d k + k a^{2} d^{2} - 2 k a b c d + k b^{2} c^{2} \\ = a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} k + k b^{2} c^{2} + k b^{2} d^{2} \end{array}$
  
  よって、等式は成り立つ。
  
  （証明終）
2. 右辺を展開する。
  
  $\begin{array}{l} \frac{1}{2} (a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b c + c^{2} + c^{2} - 2 c a + a^{2}) \\ = a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c q \end{array}$
  
  よって等式は成り立つ。
  
  （証明終）
3. 左辺について o
  
  $\begin{array}{l} \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 - y} \\ = \frac{2 - x - y}{(1 - x) (1 - y)} \end{array}$
  
  右辺について。
  
  $\begin{array}{l} 1 + \frac{1 - x y}{(1 - x) (1 - y)} \\ = \frac{1 - x - y + x y + 1 - x y}{(1 - x) (1 - y)} \\ = \frac{2 - x - y}{(1 - x) (1 - y)} \end{array}$
  
  よって等式は成り立つ。
  
  （証明終）
4. 左辺について。
  
  $\begin{array}{l} \frac{b}{a (a + b)} + \frac{c}{(a + b) (a + b + c)} \\ = \frac{a b + b^{2} + b c + a c}{a (a + b) (a + b + c)} \end{array}$
  
  右辺について。
  
  $\begin{array}{l} \frac{1}{a} - \frac{1}{a + b + c} \\ = \frac{a + b + c - a}{a (a + b + c)} \\ = \frac{(b + c) (a + b)}{a (a + b) (a + b + c)} \\ = \frac{a b + b^{2} + b c + a c}{a (a + b) (a + b + c)} \end{array}$
  
  よって等式は成り立つ。
  
  （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('41.')

a, b, c, d, x, y, k = symbols('a, b, c, d, x, y, k')
ts = [((a ** 2 + k * b ** 2) * (c ** 2 + k * d ** 2),
       (a * c + k * b * d) ** 2 + k * (a * d - b * c) ** 2),
      (a ** 2 + b ** 2 + c ** 2 - a * b - b * c - c * a,
       ((a - b) ** 2 + (b - c) ** 2 + (c - a) ** 2) / 2),
      (1 / (1 - x) + 1 / (1 - y),
       1 + (1 - x * y) / ((1 - x) * (1 - y))),
      (b / (a * (a + b)) + c / ((a + b) * (a + b + c)),
       1 / a - 1 / (a + b + c))]

for i, (l, r) in enumerate(ts, 1):
    print(f'({i})')
    pprint((l - r).simplify() == 0)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample41.py
41.
(1)
True

(2)
True

(3)
True

(4)
True

$

Kamimura's blog

2019年1月4日金曜日

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