本 - ブルーバックス( @bluebacks_pub ) - 飽本一裕著 - 今日から使える微分方程式 普及版 例題で身につく理系の必須テクニック - 微分の定義

今日から使える微分方程式 普及版
例題で身につく理系の必須テクニック
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今日から使える微分方程式 普及版 例題で身につく理系の必須テクニック (ブルーバックス) (飽本 一裕(著)、講談社)の第1章(座頭市の自由気ままな世界旅行 ~微積分のおさらい~)、1.1(加速度を知り己を知る便利ツール, 微分)のナットクの例題1-1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}\frac{df\left(x\right)}{\mathrm{dx}}\\ =\underset{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\right)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{{\left(x+\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\right)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{x^2+2\left(\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\right)x+{\left(\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\right)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\left(2x-\left(\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\right)\right)\\ =2x\end{array}$
2. 
   
   $\begin{array}{}\frac{df\left(x\right)}{\mathrm{dx}}\\ =\underset{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\cos \left(x+\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\right)-\cos x}{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\cos x\cos \left(\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\right)-\sin x\sin \left(\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\right)-\cos x}{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\cos x\left(\cos \left(\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\right)-1\right)-\sin x\sin \left(\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x\right)}{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}x}\\ =-\sin x\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, cos, plot

x, dx = symbols('x, △x')


def d(f):
    return ((f.subs({x: x + dx}) - f) / dx).limit(dx, 0)


fs = [x ** 2, cos(x)]

for i, f in enumerate(fs, 1):
    print(f'({i})')
    l = Derivative(f, x, 1).doit()
    for t in [d(f), l]:
        pprint(t)
        print()
    print()

p = plot(*fs, ylim=(-10, 10), legend=True, show=False)

colors = ['red', 'green']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color

p.save('sample1.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample1.py
(1)
2⋅x

2⋅x


(2)
-sin(x)

-sin(x)


$