数学 - 代数学 - 実数 - 分類(自然数、整数、有理数、無理数)

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(実数)、2(実数の分類)、問1の解答を求めてみる。

1. 
   

   自然数。

   $\begin{array}{}3\\ 7\end{array}$

   整数。

   $\begin{array}{}3\\ -\sqrt{16}=-4\\ 7\end{array}$

   有理数。

   $\begin{array}{}3\\ -\sqrt{16}\\ -\frac{5}{2}\\ 7\\ \sqrt{0.09}=0.3=\frac{3}{10}\end{array}$

   無理数。

   $\begin{array}{}\sqrt{7}\\ -\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ \sqrt{0.4}\end{array}$

   確認。

   $\sqrt{7}$

   が有理数と仮定すると、既約分数として、

   $\begin{array}{}\sqrt{7}=\frac{n}{m}\left(m,n\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\right)\\ m^{2}7=n^2\end{array}$

   左辺は7の倍数なので、右辺も7の倍数となる。

   また、7は素数なので、 n は7の倍数である。

   $\begin{array}{}n=7k\\ n^2=49k^2\end{array}$

   このとき、

   $\begin{array}{}{m}^{2}7=49k^2\\ m^2=7k^2\end{array}$

   同様に、 m も7の倍数である。

   これは、既約分数であるという仮定と矛盾。

   よって、7の平方は無理数である。

   $\sqrt{0.4}$

   についても同 様にして考える。

   $\begin{array}{}\sqrt{0.4}=\frac{n}{m}\\ 0.4m^2=n^2\\ 4m^2=10n^2\\ 2m^2=5n^2\\ n=2k\\ 2m^2=5·\; <!--\; middle\; dot\; -->4k^2\\ m^2=5·\; <!--\; middle\; dot\; -->2k^2\end{array}$

   よって、 m、 n 共に2の後数となり矛盾。(証明終)