数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 面積(三角関数(余弦)、3倍角、置換積分法、極座標表示)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、面積の練習問題9の解答を求めてみる。

9. 
   
   $\begin{array}{}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=-\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6},\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6},\frac{3}{6}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->},\frac{5}{6}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ \int \; <!--\; integral\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{r}^2}{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}\int \; <!--\; integral\; -->{\cos }^2\left(3\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ t=3\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ \frac{\mathrm{dt}}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}=3\\ \mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}=-\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2},\frac{5}{2}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ \frac{1}{2}\int \; <!--\; integral\; -->{\cos }^{2}t·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{3}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}\sin t\cos t+\frac{1}{2}\int \; <!--\; integral\; -->1\mathrm{dt}\right)\\ =\frac{1}{12}\left(\sin t\cos t+t\right)\\ \frac{1}{12}{\left[\sin t\cos t+t\right]}_{\left(-\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}\right)}^{\left(\frac{5}{2}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\right)}\\ =\frac{1}{12}·\; <!--\; middle\; dot\; -->3\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ =\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, cos, sin, pi, exp, sqrt
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = cos(3 * theta)
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(r ** 2 / 2, (theta, -pi / 6, 5 * pi / 6))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

p = plot_parametric((x, y, (theta, -pi / 6, pi / 6)),
                    (x, y, (theta, pi / 6, 3 * pi / 6)),
                    (x, y, (theta, 3 * pi / 6, 5 * pi / 6)),
                    show=False)


colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'pink']
for i, s in enumerate(p):
    s.line_color = colors[i]
p.save('sample9.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample9.py
5⋅π             
───             
 6              
 ⌠              
 ⎮     2        
 ⎮  cos (3⋅θ)   
 ⎮  ───────── dθ
 ⎮      2       
 ⌡              
-π              
───             
 6              

π
─
4

C:\Users\...>