数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 面積(三角関数(正弦)、累乗(平方)、極座標表示)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、面積の練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{r}^2}{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^4\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ \int \; <!--\; integral\; -->{\sin }^4\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =-\frac{1}{4}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\frac{3}{4}\int \; <!--\; integral\; -->{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =-\frac{1}{4}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{2}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\frac{1}{2}\int \; <!--\; integral\; -->1d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\\ =-\frac{1}{4}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{2}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\frac{1}{2}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\\ {\left[-\frac{1}{4}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{2}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\frac{1}{2}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right]}_0^{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\\ =\frac{1}{2}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, cos, sin, pi, exp, sqrt
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = sin(theta) ** 2
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(r ** 2 / 2, (theta, 0, pi))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

p = plot_parametric((x, y, (theta, 0, pi / 2)),
                    (x, y, (theta, pi / 2, pi)),
                    (x, y, (theta, pi, 3 * pi / 2)),
                    (x, y, (theta, 3 * pi / 2, 2 * pi)),
                    show=False)


colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for i, s in enumerate(p):
    s.line_color = colors[i]
p.save('sample4.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample5.py
π           
⌠           
⎮    4      
⎮ sin (θ)   
⎮ ─────── dθ
⎮    2      
⌡           
0           

3⋅π
───
 16

C:\Users\...>