数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 面積(三角関数(余弦)、累乗、極座標表示)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、面積の練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{1}{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{r}^{2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{1}{2}{r}^{2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\left(1-\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}^{2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left(1-2\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+{\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}\left({\left[\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-2\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right]}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}+\frac{1}{2}{\left[\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right]}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}1d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}+\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\right)\\ =\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}\left(2+1\right)\\ =\frac{3}{2}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, cos, sin, pi, exp
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = 1 - cos(theta)
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(r ** 2 / 2, (theta, 0, 2 * pi))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

p = plot_parametric((x, y, (theta, 0, pi / 2)),
                    (x, y, (theta, pi / 2, pi)),
                    (x, y, (theta, pi, 3 * pi / 2)),
                    (x, y, (theta, 3 * pi / 2, 2 * pi)),
                    show=False)


colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for i, s in enumerate(p):
    s.line_color = colors[i]
p.save('sample2.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample2.py
2⋅π                 
 ⌠                  
 ⎮              2   
 ⎮  (cos(θ) - 1)    
 ⎮  ───────────── dθ
 ⎮        2         
 ⌡                  
 0                  

3⋅π
───
 2 

$