数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 面積(三角関数(正弦)、累乗、倍角、極座標表示)

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、面積の練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}{r}^2}{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\left(2+\sin \left(2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)}^{2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left(4+4\sin \left(2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+{\sin }^2\left(2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}{\left[4\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-2\cos \left(2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right]}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^2\left(2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->8\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^2\left(2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ t=2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ \frac{\mathrm{dt}}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}=2\\ \int \; <!--\; integral\; -->{\sin }^{2}t·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}\left(-\sin t\cos t+\frac{1}{2}\int \; <!--\; integral\; -->1\mathrm{dt}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(-\sin t\cos t+\frac{1}{2}t\right)\\ \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=0,t=0\\ \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->},t=4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ \underset{0}{\overset{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{\sin }^{2}t·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}\left({\left[-\sin t\cos t\right]}_0^{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}+\frac{1}{2}{\left[t\right]}_0^{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\right)\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ 4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}+\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ =\frac{9}{2}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, cos, sin, pi, exp, sqrt
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = 2 + sin(2 * theta)
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(r ** 2 / 2, (theta, 0, 2 * pi))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

p = plot_parametric((x, y, (theta, 0, pi / 2)),
                    (x, y, (theta, pi / 2, pi)),
                    (x, y, (theta, pi, 3 * pi / 2)),
                    (x, y, (theta, 3 * pi / 2, 2 * pi)),
                    show=False)


colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown']
for i, s in enumerate(p):
    s.line_color = colors[i]
p.save('sample4.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample3.py
2⋅π                  
 ⌠                   
 ⎮  ⎛  cos(θ)   1⎞   
 ⎮  ⎜- ────── + ─⎟ dθ
 ⎮  ⎝    2      2⎠   
 ⌡                   
 0                   

π

$

落花生っぽい(？)形になった。