数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(対角行列の逆行列(非ゼロ))

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(行列の乗法)、練習問題15の解答を求めてみる。

15. 
    

    A の逆行列を B とする。
    (i, j) 成分について。

    $\begin{array}{}B=\left(b_{ij}\right)\\ AB\\ =\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{kj}\right)\\ i=j\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{ki}\\ =a_{i1}{b}_{1i}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{ii}{b}_{ii}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{in}{b}_{ni}\\ =a_{ii}{b}_{ii}\\ =a_i{b}_{ii}\\ a_i{b}_{ii}=1\\ b_{ii}=\frac{1}{a_i}\\ i\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->j\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{kj}\\ =a_{i1}{b}_{1j}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{ii}{b}_{ij}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+a_{in}{b}_{nj}\\ =a_{ii}{b}_{ij}\\ a_{ii}{b}_{ij}=0\\ b_{ij}=0\end{array}$

    よって、問題の対角行列の逆行列は、

    $B=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{a_1}& 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0\\ 0& \frac{1}{a_2}& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& 0\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& & ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ 0& 0& \dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->& \frac{1}{a_n}\end{array}\right]$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('15.')


def f(i, j):
    if i == j:
        return symbols(f'a{i}', nonzero=True)
    return 0


for n in range(1, 6):
    A = Matrix([[f(i, j) for j in range(1, n + 1)]
                for i in range(1, n + 1)])
    for t in [A, A ** -1]:
        pprint(t)
        print()

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...> py -3 sample15.py
15.
[a₁]

⎡1 ⎤
⎢──⎥
⎣a₁⎦

⎡a₁  0 ⎤
⎢      ⎥
⎣0   a₂⎦

⎡1     ⎤
⎢──  0 ⎥
⎢a₁    ⎥
⎢      ⎥
⎢    1 ⎥
⎢0   ──⎥
⎣    a₂⎦

⎡a₁  0   0 ⎤
⎢          ⎥
⎢0   a₂  0 ⎥
⎢          ⎥
⎣0   0   a₃⎦

⎡1         ⎤
⎢──  0   0 ⎥
⎢a₁        ⎥
⎢          ⎥
⎢    1     ⎥
⎢0   ──  0 ⎥
⎢    a₂    ⎥
⎢          ⎥
⎢        1 ⎥
⎢0   0   ──⎥
⎣        a₃⎦

⎡a₁  0   0   0 ⎤
⎢              ⎥
⎢0   a₂  0   0 ⎥
⎢              ⎥
⎢0   0   a₃  0 ⎥
⎢              ⎥
⎣0   0   0   a₄⎦

⎡1             ⎤
⎢──  0   0   0 ⎥
⎢a₁            ⎥
⎢              ⎥
⎢    1         ⎥
⎢0   ──  0   0 ⎥
⎢    a₂        ⎥
⎢              ⎥
⎢        1     ⎥
⎢0   0   ──  0 ⎥
⎢        a₃    ⎥
⎢              ⎥
⎢            1 ⎥
⎢0   0   0   ──⎥
⎣            a₄⎦

⎡a₁  0   0   0   0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢0   a₂  0   0   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢0   0   a₃  0   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢0   0   0   a₄  0 ⎥
⎢                  ⎥
⎣0   0   0   0   a₅⎦

⎡1                 ⎤
⎢──  0   0   0   0 ⎥
⎢a₁                ⎥
⎢                  ⎥
⎢    1             ⎥
⎢0   ──  0   0   0 ⎥
⎢    a₂            ⎥
⎢                  ⎥
⎢        1         ⎥
⎢0   0   ──  0   0 ⎥
⎢        a₃        ⎥
⎢                  ⎥
⎢            1     ⎥
⎢0   0   0   ──  0 ⎥
⎢            a₄    ⎥
⎢                  ⎥
⎢                1 ⎥
⎢0   0   0   0   ──⎥
⎣                a₅⎦


C:\Users\...>